高中数学第一章推理与证明1.2综合法与分析法课件.pptx

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1、§1.2综合法与分析法1.综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.名师点拨综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”.(2)用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,用Q表示所要证的结论,则综合法的思维过程可表示如下:(3)用综合法证明题目,具有步骤严谨、逐层递进、条理清晰、易于表达的特点.【做一做1】已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥.证明:∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2y

2、z,z2+x2≥2xz,∴(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)≥2xy+2yz+2xz.∴3(x2+y2+z2)≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz,即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1.2.分析法从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这种思维方法称为分析法.名师点拨分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.(2)用分析法书写证明过程的格式为“要证……,只需证……,只需证

3、……,…由于……显然成立(已知,已证等),所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.【做一做2】将下面用分析法证明≥ab的步骤,补充完整:要证≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证,即证,由于显然成立,因此原不等式成立.答案:a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥0思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)综合法是由因导果的顺推证法.()(2)分析法是执果索因的逆推证法.()(3)分析法的推理过程要比综合法优越.()(4)所有证明的题目均可使用分析法证明

4、.()√√×××探究一探究二探究三规范解答综合法的应用【例1】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求证:A的大小为60°.(2)若sinB+sinC=,证明△ABC为等边三角形.分析:(1)要证A的大小为60°,可先从已知条件出发,利用正弦定理,将角化为边,再利用余弦定理得出角A的大小.(2)要证△ABC为等边三角形,可从(1)的证明出发,将sinB+sinC=转化为只含一个角的三角函数值的等式,进而求出角B或角C的大小也为60°

5、,命题得证.探究一探究二探究三规范解答证明:(1)∵2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,∴2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2.探究一探究二探究三规范解答(2)∵由(1)知A=60°,且A+B+C=180°,∴B+C=120°.∵0°

6、及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法.(2)转化条件,组织过程.即把已知条件转化成所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.(3)适当调整,回顾反思.即回顾解题过程,对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当修饰,反思总结解题方法的选取.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答分析法的应用分析:本题从正面入手很难找到思路与方法,可从结论入手,利用分析法,寻找结论成立的充分条件.探究一探究二探究三规范解答而上述不等式显然成立,故原不等式成立.探究一探究二探究三

7、规范解答反思感悟利用分析法证明不等式(1)适用范围:常用于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明.(2)证明思路:从要证明的不等式出发,逐步寻求它成立的充分条件,最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)格式要求:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.探究一探究二探究三规范解答只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2,只需证(xy)2-1+(x+y)-xy(x+y)≥0,只需证(xy-1)(xy+1-x-y)≥0,只需证(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.因为x≥1

8、,y≥1,所以上式显然成立.所以原不等式成立.探究一探究二探究三规范解答综合法与分析法的综合应用【例3】已知a,b,c是不全相等的正数,且0