高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系课件3新人教A版.pptx

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1、1.2.2同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α+cos2β=1也成立.()(2)对任意角α，都成立.()(3)在利用平方关系求sinα或cosα时，会得到正负两个值.()2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知且角α在第四象限，则sinα=_____.(2)化简的结果是_______.(3)已知则tanα=_______.【解析】(1)错误.必须是对同一个角.(2)错误.没意义，故不成立.(3)错误.其正负号由角α所在的象限决定.答案：(1)×(2)×(3)×【解析】(1

2、)由于且角α在第四象限，所以答案：(2)因为所以所以答案：(3)由得解得答案：【要点探究】知识点同角三角函数的基本关系对同角三角函数基本关系的五点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α+cos23α=1.(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°=不成立.(4)注意公式的变形,如sin2α=1-cos2α，cos2α=1

3、-sin2α，sinα=cosαtanα，cosα=等.(5)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象.【微思考】当角α的终边与坐标轴重合时，sin2α+cos2α=1也成立吗?提示：成立.在使函数有意义的前提下，对任意角α，sin2α+cos2α=1都成立.【即时练】1.已知sinα-cosα＝则sinα·cosα等于()【解析】1.选C.将所给等式两边平方，得故2.化简的值为()A.sinθB.cosθC.1D.tanθ【解析】选B.【题型示范】类型一利用同角三角函数基本关系求值【典例1】(1)已知并且α是第二象限角，那么ta

4、nα的值等于()(2)已知计算下列各式的值：①②sin2α－2sinαcosα＋1.【解题探究】1.题(1)中如何求cosα的值？2.题(2)中怎样将已知和所求联系起来？【探究提示】1.题(1)中可利用平方关系求cosα的值，要注意角α所在的象限.2.题(2)中可将已知条件变形，表示出sinα与cosα的关系或求出tanα的值，代入所求从而求解.【自主解答】(1)选A.由于α是第二象限角，根据平方关系易得所以(2)由化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①方法一：原式＝方法二：原式＝②原式＝【延伸探究】题(1)中将条件“”改为“”，其他条件不变，则sinα,cosα

5、的值各是什么？【解析】由于所以又sin2α+cos2α=1，且α是第二象限角，所以【方法技巧】利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果.【变式训练】已知(1)求tanθ的值.(2)求的值．【解析】(1)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以又所以所以(2)由(1)知，【补偿训练】若且A是三角形中的一个角，求的值．【解析】因为所以角A为锐角或钝角

6、．当A为锐角时，所以原式＝当A为钝角时，所以原式＝综上可知，的值为6或类型二利用同角三角函数基本关系化简【典例2】(1)化简：＝_______.(2)化简的结果为_______．【解题探究】1.题(1)中怎样将“1-2sin4cos4”化为完全平方的形式？2.题(2)中如何处理分式结构？【探究提示】1.可将1分解为“sin24+cos24”的形式，从而构造出完全平方的形式.2.对于分式结构可先通分，再利用同角三角函数基本关系进行化简.【自主解答】(1)＝＝

7、sin4－cos4

8、.因为所以由三角函数线易知cos4>sin4.所以答案：cos4－sin4(2)＝答案：－2tan2

9、α【方法技巧】化简三角函数式的一般要求及化简技巧(1)一般要求：①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式.(2)化简技巧：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α+cos2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的.【变式训练】(2014·台州高一检测)化简其