《高斯曲率绝妙定理的几种公式的推导方法》.pdf

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1、第28卷第3期四川~t．r-学院学报(自然科学版)V01．28No．32015年6月JournalofSichuanUniversity—ofScience&Engineering(NaturalScienceEdition)Jun．2015—文章编号：1673-1549(2015)03-0080-06DOI：10．11863／j．SLIse．2015．03．17高斯曲率绝妙定理的几种公式的推导方法邢家省h，，高建全，罗秀华(1．北京航空航天大学a．数学与系统科学学院，b．数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100191；2．平顶山教育学院，河南平顶山467000)摘要：考虑高斯曲率绝妙定

2、理的公式表示问题，运用曲面上基本方程的矩阵表示法，推导出高斯曲率绝妙定理的直接显式公式，指出了高斯曲率隐式公式的验证过程，给出了高斯曲率计算公式Liouville形式的推导过程。关键词：曲面论基本方程；高斯曲率；高斯绝妙定理中图分类号：0186．1文献标志码：A曲面上高斯曲率的定义和计算公式是经典曲面论A：(go)=fgll1的重要内容。曲面上的高斯曲率是曲面的内蕴、g21g22／量¨J，这个著名定理是高斯于1827年发现的，称为高命斯绝妙定理或曲面论的高斯方程，该定理的原始表述形式是用曲面上第一类基本量的隐式表达¨。给出gg12)古-g)：高斯曲率绝妙定理的最终显式表达是研究者的追求，现有

3、文献中给出的推导过程相当繁杂，不利于理解和掌(g：ll12)=c，握。研究发现采用曲面论基本方程的矩阵表示法⋯，是A：()的逆矩阵，运用矩阵运算就可以很简明的推导出高斯曲率绝妙定lX／'2l×理的最终显式表达公式⋯，对高斯曲率计算公式的一丽Liouville记忆形式亦给出了推导过程。ainu—,Ou—1曲面论基本方程的矩阵方程表形式i02++—“Ouj—Ou给出C。类的正则曲面·i：=产(／Z1，2)，(“l，“2)∈△b=·=一·，i,j=1，2，b=bii按照文献[1—6，9—10]中的符号体系，给出如下一系列记号，：：1：2)arI将曲面基本方程改写成矩阵方程形式为：g：。，g=g,i

4、，t一,j=1，2=F：㈣~2+bzl~1gl1g22一gl2g21g21收稿日期：2014—10-01基金项目：国家自然科学基金项目(11201020)；北京航空航天大学校级重大教改项目(201401)作者简介：邢家省(1964一)，男，河南泌阳人，副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa．edu．Cn第28卷第3期．邢家省，等：高斯曲率绝妙定理的几种公式的推导方法81矗)=()()+b,2nIlj而斯曲罕纪妙疋理隐式衣不公式的矩降～推导方法一(2)对(4)式右端进行代人运算，可得22(ElF2~jI卜(：：)=(：：：～21)A～=BAF2

5、1厂=÷(+Ou一)A～=2(＼6622一—0bb，2，26l】6220-b~,2)u：∑gZF=t一,j，k=1，2f=1f：‘611622—622)gll(6ll622一(6)2曲面论基本方程中系数矩阵满足的方程g＼一g22(bnb一622)g。(bnb一6)／由(6)式两边矩阵中右上角的元素对应元素相等，-．f得’删譬一等：：一㈢，-=(6l-6zz2z)警千县寓斯曲蜜右内蕴iI-笪[1-6，9．10]：丝_=：二：1gIlg22一g-2gr211者)，Ou2-者充[誓一鲁+rl,+。一12一。】(7)划b2ll1nl=由(7)式两边矩阵中左下角的元素对应元素相等，可得矗[()(2)+

6、b,2~llc3一等，厂。一ff=一(6。6一6；：)于是高斯曲率内蕴计算公式蠹bnb22—6bnb22—622A=————————-=一=一gllg22一g‘x2g(FI1：)(rL21I一()(：：)=【孥一鲁++，：一11一。】(8)(：：)c，z2一、bl：2，／c：，(4)比较(6)式中两边矩阵中的对应元素相等，还可得到另0bnC~外两个形式的等式。／b12／r．／／~,2＼624高斯曲率绝妙定理的最终显式表示公式的矩阵推导方法(rLF21I=。(5)22]~,b2,在(6)式左端，利用曲面基本方程中系数矩阵的关82四川理工学院学报(自然科学版)2015年6月，系，经过代入运算，可

7、得(6)式等价于厂Flit21／)-：⋯f，1Ogll1c3g22、I2孤2I(12)，()A(：)+Og121Og2210g22l÷rOu22Ou12Ou2／+从而得出()A()：+：0、(FII2F212)=+(I6，一-06，，6，：，：6l120一)J(9)、(o由(9)式两边矩阵的右上角对应元素相等，可得lO2g121a1‘gll1a1‘g22Ou2Ou12au2Ou22Ou1OuJ一一Ou2Ou1