高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法

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1、第２７卷第４期四川理工学院学报（自然科学版）Ｖｏｌ２７Ｎｏ４２０１４年８月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｉｃｈｕａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ａｕｇ２０１４文章编号：１６７３１５４９（２０１４）０４００８２０８ＤＯＩ：１０．１１８６３／ｊ．ｓｕｓｅ．２０１４．０４．２０高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法１，２３３邢家省，高建全，罗秀华（１．北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京１００１９１；２．数学、信息与行为教育部重点

2、实验室，北京１００１９１；３．平顶山教育学院数学系，河南平顶山４６７０００）摘要：考虑曲面上高斯曲率内蕴公式的表示问题，运用曲面基本方程的矩阵表示法，给出了高斯曲率是内蕴量的直接的显式公式，并指出这种内蕴公式与Ｂｒｉｏｓｃｈｉ的表示公式是明显一致的；给出了高斯曲率简化公式的推导来源，揭示出了高斯曲率隐式公式的发现过程。关键词：曲面的基本方程；曲面结构方程；高斯曲率；内蕴公式；Ｂｒｉｏｓｃｈｉ公式中图分类号：Ｏ１８６１文献标志码：Ａ曲面上的高斯曲率的定义和计算公式是经典曲面１曲面论的基本方程的矩阵方程表示形

3、式［１９］论的重要内容。曲面上的高斯曲率是曲面的内蕴量［１６］，这个重要结果是高斯于１８２７年发现的著名定曲面论的基本问题是研究由曲面的第一基本形式［２６］和第二基本形式如何确定曲面存在的问题，解决的方法理，称为高斯绝妙定理，该定理的原始表述形式是用是从曲面的基本方程出发，寻找到了存在可解曲面的充曲面上的第一类基本量的隐式表达。曲面论基本方程［１６］３要条件。给出Ｃ类的正则曲面的理论到Ｒｉｅｍａｎｎ和Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ时代，才被建立了完善体系。意大利数学家Ｂｒｉｏｓｃｈｉ给出了高斯曲率是内蕴量的Σ：

4、ｒ珒＝ｒ珒（ｕ１，ｕ２），（ｕ１，ｕ２）∈Δ显式表达公式［１２，４，６］，并给出了正交坐标曲线网下高斯按照文献［１－６，９－１０］中的符号体系，给出记号，曲率的简化计算公式［１］，导致了新型曲面的发现。Ｂｒｉｒ珒ｒ珒ｉ＝ｒ珒ｕｉ＝ｕｉｏｓｃｈｉ公式的发现与高斯导出的发现方法完全不同，两者ｇ＝ｒ珒·ｒ珒，ｇ＝ｇ，ｉ，ｊ＝１，２ｉｊｉｊｉｊｊｉ的一致性似乎不能明显的看出来，在曲面论的结构方程ｇｇ－ｇｇ＝ｇ１１２２１２２１的推导过程中还能给出高斯曲率是内蕴量的显式表达ｇｇ１１１２公式，这个公式和Ｂｒｉｏｓ

5、ｃｈｉ公式是明显一致的。高斯曲Ａ＝（ｇ）＝ｉｊ()［１７，９］ｇ２１ｇ２２率是内蕴量的隐式公式，人们通常都是采用验证的［７，９］命方式，没有指出这种公式是如何合理发现的，本文给－１ｇｇｇ－ｇ出了导致发现的推导过程。对曲面论的基本方程性质－１１１１２１２２１２Ａ＝()＝()＝ｇｇｇ－ｇｇ的推导，在前人成果的基础上，本文运用矩阵运算的推２１２２１２１１１１１２导方法，给出了简便的推导过程，有利于人们理解掌握，ｇｇｉｊ()＝（ｇ）２１２２沟通了各部分的联系，构成了一套新的处理体系。ｇｇ收稿日期：２０１３１２

6、１９基金项目：国家自然科学基金项目（１１２０１０２０）作者简介：邢家省（１９６４），男，河南泌阳人，副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何方面的研究，（Ｅｍａｉｌ）ｘｊｓｈ＠ｂｕａａ．ｅｄｕ．ｃｎ第２７卷第４期邢家省等：高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法８３是Ａ＝（ｇ）的逆矩阵，矩阵之间的关系。对向量ｒ珒，ｎ珗运用二阶连续偏导数可ｉｊｉｒ珒１×ｒ珒２ｒ珒１×ｒ珒２交换次序的法则，方程组（１）、（２）可解的充要条件是ｎ珗＝＝ｒ珒１×ｒ珒２槡ｇｒ珒１ｒ珒１２２ｎ珗＝ｎ珗＝ｎ珗ｒ

7、珒２＝ｒ珒２ｉｕｉｕｕ２ｕ１ｕ１ｕ２ｉｎ珗ｎ珗２ｒ珒ｒ珒ｉｊ＝ｒ珒ｕｉｕｊ＝由此，须有ｕｊｕｉｂ＝ｎ珗·ｒ珒＝－ｎ珗·ｒ珒，ｉ，ｊ＝１，２，ｂ＝ｂｒ珒１１ｒ珒１２ｉｊｉｊｊｉｉｊｊｉ()＝()，ｎ珗１＝ｎ珗２ｕ２ｒ珒２１ｕ１ｒ珒２２ｕ２ｕ１ｂｂ１１１２Ｂ＝（ｂ）＝ｉｊ()利用（１）式，存在可解曲面的充要条件是ｂｂ２１２２１２将曲面的基本方程改写成矩阵方程的形式为［１６，９］：Γ１１Γ１１ｒ珒１ｂ１１ｎ珗[()＋()]＝ｕ２(１２)ｒ珒ｂｎ珗１２ｂΓ

8、２１Γ２１２２１ｒ珒１Γ１１Γ１１ｒ珒１１１ｎ珗()＝()＋()１２ｕ１ｒ珒(Γ１Γ２)ｒ珒ｂｎ珗Γ１２Γ１２ｒ珒１ｂ１２ｎ珗２２１２１２２１[()＋()]（３）ｕ１(１２)ｒ珒ｂｎ珗１２Γ２２Γ２２２２２ｒ珒１Γ１２Γ１２ｒ珒１ｂ１２ｎ珗()＝()()＋(ｎ)（１）（３）式的左端ｕ２ｒ珒Γ１Γ２ｒ珒ｂ珗２２２２２２２２１２Γ１１Γ１１ｒ珒１１２＝＋ｎ珗１ｂ１ｂ１ｒ珒１ｕ(１２)()＝－（２）２Γ