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1、第23卷第3期黄冈师范学院学报Vol.23No.32003年6月JournalofHuanggangNormalUniversityJun.2003卢瑟福散射公式的几种推导方法尹建武(黄冈师范学院物理系,湖北黄州438000)摘要:讨论并比较了卢瑟福散射公式的几种推导方法,加深了对卢瑟福散射公式的理解.关键词:卢瑟福散射公式;推导;经典力学;量子力学;场论中图分类号:O562文献标识码:A文章编号:100328078(2003)0320031204ThemethodsofderivingtheRutherfordscatteringformulaYINJian-wu(Dep
2、t.ofPhysics,HuanggangNormalUniversity,Huangzhou438000,Hubei,China)Abstract:ThispaperdiscussesandcomparesthemethodsofderivingtheRutherfordscatteringformula,anddeepensourunderstandingofthisformula.Keywords:Rutherfordscatteringformula;derivation;classicalmechanics;quantummechanics;fieldtheory
3、卢瑟福散射实验不仅对原子物理学的发展起了很大的作用,而且这种以散射为手段研究物质结构的方法对近代物理的发展一直有着巨大的影响.而今在粒子物理的研究领域,用散射的方法研究深层次的物质中可能的点状亚结构时,就是以是否能观察到卢瑟福散射所具有的特征为判断依据的.可见,卢瑟福散射及表征其散射特性的卢瑟福公式在经典和现代物理中都具有十分重要的地位.本文将对卢瑟福散射公式的经典力学的、量子力学的和量子场论的推导进行研究比较,使我们对这一著名实验及其表征实验特性的公式有一个完整的理解.1经典力学的推导在用经典力学的方法讨论卢瑟福散射问题时,要用到在物理学中的一个很重要的公式——库仑散射公
4、式:2aHz1z2eb=ctg.(a≡称之为库仑散射因子)224PE0E其中,b是瞄准距离(又称碰撞参数),即入射粒子与固定散射体无相互作用情况下的最小直线距离.H为散射角(如图1).下面先给出此公式的简明推导:→→如图,荷电z1e的粒子以速度v入射,在r处受力2→z1z2e→0→0→F=2r,(r为r方向的单位矢量)图1带电粒子的库仑散射4PE0r取x轴水平向右,y轴竖直向上,此力沿x轴、y轴方向的分量为:22z1z2ez1z2eFx=2cosU,Fy=2sinU.4PE0r4PE0r库仑力是保守力和中心力,故运动过程中入射粒子机械能和角动量守恒:收稿日期:2002210
5、228.作者简介:尹建武,男,湖北罗田人,副教授,主要从事粒子物理的研究.·32·黄冈师范学院学报第23卷1212mv初=mv末]v初=v末=v,2222dUrmvb=mr]dt=dU.dtvb在y方向,由牛顿运动定律,有:2222dvyz1z2ez1z2erz1z2em=Fy=2sinU]dvy=2sinUdU=sinUdU,dt4PE0r4PE0mrvb4PE0mvby方向速率变化范围为:0→vsinH,U角的变化范围为:0→P-H,vsinHz2P-H1z2e∫dvy=sinUdU04PE0mvb∫02z1z2e]vsinH=(1+cosH)4PE0mvb22z1z2
6、e1+cosHz1z2eHaH]b=2=ctg=ctg,4PE0mvsinH2×4PE0E2222z1z2e其中a≡.4PE0E下面再推导卢瑟福散射公式:b→b+db之间的环状区域内入射的粒子散射到H→H+dH之间的立体角内.设薄箔面积为A,厚度为t,则:一个粒子打在距一个原子b→b+db之间的环状区域的几率为:222Pbdb2PaHa2H1a2PsinHdHad8=(ctg)(-cscdH)=-=.AA222224H4H16Asin16Asin22薄箔中有nAt个原子核,即有nAt个环,一个粒子打在nAt个原子核的环上的几率为:2ad8dp(H)=nAt.4H16Asin
7、2N个粒子打在nAt个原子核的环上被散射到H→H-dH之间的立体角内的粒子数为:222ad8ad81z1z2e2d8dN′=NnAt=ntN=ntN().4H4H4PE04E4H16Asin16sinsin2222dR(H)dN′1z1z2e21定义微分散射截面:Rc≡≡=(),这就是著名的卢瑟福散射公式.d8Nntd84PE04E4Hsin2从上面的推导可以看出,用经典力学的方法推导卢瑟福散射公式时,关键是推导出库仑散射公式.[1,2,3]而库仑散射公式的推导方法在不同的书籍中不尽相同,我们这里给出了一种简明的方
