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1、3.2导数与函数的单调性、极值、最值(2)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则有在区间[a,b]上恒成立.(3)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则有在区间[a,b]上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f'(x)在该区间内.-2-知识梳理双基自测2311.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内;②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内;③若f'(x)=0,则f(x)在这个区间内是.单调递增单调递减
2、常数函数f'(x)≥0f'(x)≤0不变号-3-知识梳理双基自测2312.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f'(x0)=0,①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①确定函数的定义域,并求f'(x);②求方程的根;f'(x)>0f'(x)<0f'(x)<0f'(x)>0f'(x)=0-4-知识梳理双基自测231③检查方程的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么
3、f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.f'(x)=0极大值极小值3.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在区间[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤.①求f(x)在区间(a,b)内的;②将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的
4、一个是最大值,最小的一个是最小值.-5-知识梳理双基自测231f(a)f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则一定有f'(x)>0.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)导数为零的点不一定是极值点.()(4)函数的极大值不一定比极小值大.()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√6-7-知识梳理双基自测2
5、34152.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案解析解析关闭设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<00,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.答案解析关闭D6-8-知识梳理双基自测2341563.函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.
6、(-1,1)答案解析解析关闭答案解析关闭-9-知识梳理双基自测2341564.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4答案解析解析关闭∵f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.∴f(x)在[-1,0)上是增函数,在(0,1]上是减函数.∴f(x)max=f(0)=2.答案解析关闭C-10-知识梳理双基自测2341565.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为.答案解析解析关闭∵函数f(x)=x3+ax2+
7、3x在定义域上是增函数,∴f'(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立,∴Δ=4a2-36≤0,解得-3≤a≤3.答案解析关闭[-3,3]-11-知识梳理双基自测234156答案解析解析关闭由题意知,只在x=-1处f'(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.答案解析关闭16.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为.-12-考点1考点2考点3考向一讨论函数的单调性或求单调区间例1(2018全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;思考如何利
8、用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?-13-考点1考点2考点3-14-考点1考点2考点3(2)证明：由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+
