2、c>1,(构造函数)设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxlnc,-4-考点1考点2考点3解题心得利用导数证明不等式时,可移项使不等式一边化为0的形式,再构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比较函数值与0的关系.如证明不等式f(x)1.所以当00,h(x)单调递增.又h(1
3、)=0,所以当00,所以t(x)在(0,1)上单调递增,即t(x)>t(0)=0,所以ax>xlna+1.所以g(x)=ax+xa>xa+xlna+1=x(xa-1+lna)+1>x(1+lna)+1>1.综上,g(x)>1.-7-考点1考点2考点3例2设f(x)=xex,g(x)=x2+x.(1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值;(2)若任意x1,x2∈[-1,+
4、∞),且x1>x2,有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?解:(1)∵F(x)=f(x)+g(x)=xex+x2+x,∴F'(x)=(x+1)(ex+1),令F'(x)>0,解得x>-1,令F'(x)<0,解得x<-1,∴F(x)在(-∞,-1)内递减,在(-1,+∞)内递增.-8-考点1考点2考点3(2)∵任意x1,x2∈[-1,+∞),且x1>x2,有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,∴mf(x1)-g(x1)>mf(x2)-g(x2)恒成立.解题心得利用导数解决
5、不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.-9-考点1考点2考点3(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,求a的取值范围.-10-考点1考点2考点3-11-考点1考点2考点3-12-考点1考点2考点3例3已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.思考如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x
6、)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).(ⅰ)若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.(ⅱ)若a>0,则由f'(x)=0得x=-lna.当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)<0;当x∈(-lna,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-lna)内单调递减,在(-lna,+∞)内单调递增.-13-考点1考点2考点3(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.(ⅱ)若a>0,由(1)知,当x=-lna时,f(x)取得最小值,又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-
7、lna)内有一个零点.-14-考点1考点2考点3解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.-15-考点1考点2考点3对点训练3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.解:f'(x
