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《2019届高考数学总复习4.2.2数列中的证明及存在性问题课件理.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.2.2数列中的证明及存在性问题-2-考向一考向二考向三等差(比)数列的判断与证明(1)求a1,a2;(2)求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是等差数列;(3)如果数列{bn}满足an=log2bn,试证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.又a1=5满足an=3n+2,所以an=3n+2.因为an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,所以数列{an}是以5为首项,3为公差的等差数列.-3-考向一考向二考向三-4-考向一考向二考向三解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.(1)定义法:对于n≥1的任意自然数
2、,验证an+1-an为同一常数.(2)通项公式法:若an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差数列;若an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列;若=an-1·an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列.2.对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.-5-考向一考向二考向三对点训练1设数列{an}的前n项和为S
3、n,且首项a1≠3,an+1=Sn+3n(n∈N*).(1)求证:{Sn-3n}是等比数列;(2)若{an}为递增数列,求a1的取值范围.(1)证明:∵an+1=Sn+3n,∴Sn+1=2Sn+3n.∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).∵a1≠3,∴数列{Sn-3n}是首项为a1-3,公比为2的等比数列.-6-考向一考向二考向三(2)解:由(1)得,Sn-3n=(a1-3)×2n-1,∴Sn=(a1-3)×2n-1+3n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)×2n-2+2×3n-1.∵{an}为递增数列,∴当n≥2时,(a1-3)×2n
4、-1+2×3n>(a1-3)×2n-2+2×3n-1,∵a2=a1+3>a1,∴a1的取值范围是(-9,+∞).-7-考向一考向二考向三数列型不等式的证明例2设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,且4Sn=an(an+2).(1)求数列{an}的通项公式;(1)解:4Sn=an(an+2),①即2(an+an-1)=(an+an-1)·(an-an-1).∵an>0,∴an-an-1=2,∴an=2+2(n-1)=2n.-8-考向一考向二考向三解题心得要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和,再对和式放缩;二是先对数列的通
5、项放缩,再求数列的和,必要时对其和再放缩.-9-考向一考向二考向三对点训练2已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.-10-考向一考向二考向三数列中的存在性问题例3已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1.因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.-11-考向一考向二考向三
6、解题心得假设推理法:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.(2)解:由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.-12-考向一考向二考向
7、三对点训练3已知数列{an}和{bn},a1a2a3…an=(n∈N*),且a1=2,b3-b2=3,数列{an}为等比数列,公比为q.(1)求a3及数列{bn}的通项公式;(2)令cn=,是否存在正整数m,n(m≠n),使c2,cm,cn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.-13-考向一考向二考向三
