资源描述：
《新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练14数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题对点练14 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题1.已知等比数列{an},a1=13,公比q=13.(1)Sn为{an}的前n项和,证明:Sn=1-an2;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.2.已知数列{an}满足a1=3,an+1=3an-1an+1.(1)证明:数列1an-1是等差数列,并求{an}的通项公式;(2)令bn=a1a2…an,求数列1bn的前n项和Sn.3.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求λ的值.4.在数列{an}中,设
2、f(n)=an,且f(n)满足f(n+1)-2f(n)=2n(n∈N*),且a1=1.(1)设bn=an2n-1,证明数列{bn}为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.45.设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m为常数,且m≠-3.(1)求证:{an}是等比数列;(2)若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=32f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求证:1bn为等差数列,并求bn.6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2,且满足Sn=12an+1+n+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(
3、2)若bn=log3(-an+1),求数列1bnbn+2的前n项和Tn,并求证Tn<34.7.(2018天津模拟)已知正项数列{an},a1=1,a2=2,前n项和为Sn,且满足Sn+1Sn-1+Sn-1Sn+1=4Sn2Sn+1Sn-1-2(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)记cn=1Sn·Sn+1,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:13≤Tn<12.8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,数列{bn}满足b1=1,bnbn+1=λ·2an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正实数λ,使得{bn}为等比数列
4、?并说明理由.4专题对点练14答案1.(1)证明因为an=13×13n-1=13n,Sn=131-13n1-13=1-13n2,所以Sn=1-an2.(2)解bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-n(n+1)2.所以{bn}的通项公式为bn=-n(n+1)2.2.解(1)∵an+1=3an-1an+1,∴an+1-1=3an-1an+1-1=2(an-1)an+1,∴1an+1-1=an+12(an-1)=1an-1+12,∴1an+1-1-1an-1=12.∵a1=3,∴1a1-1=12,∴数列1an-1是以12为首项,12为公差的等差数列,∴1an-1
5、=12+12(n-1)=12n,∴an=n+2n.(2)∵bn=a1a2…an,∴bn=31×42×53×…×nn-2×n+1n-1×n+2n=(n+1)(n+2)2,∴1bn=2(n+1)(n+2)=21n+1-1n+2,∴Sn=212-13+13-14+…+1n+1-1n+2=212-1n+2=nn+2.3.解(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11-λ,a1≠0.由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以an+1an=λλ-1.因此{an}是首项为11-λ,公比为λλ-1的
6、等比数列,于是an=11-λλλ-1n-1.(2)由(1)得Sn=1-λλ-1n.由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132.解得λ=-1.4.(1)证明由已知得an+1=2an+2n,∴bn+1=an+12n=2an+2n2n=an2n-1+1=bn+1,∴bn+1-bn=1.又a1=1,∴b1=1,∴{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解由(1)知,bn=an2n-1=n,∴an=n·2n-1.∴Sn=1+2×21+3×22+…+n·2n-1,2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,两式相减得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n·
7、2n=2n-1-n·2n=(1-n)2n-1,∴Sn=(n-1)·2n+1.5.证明(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减,得(3+m)an+1=2man.∵m≠-3,∴an+1an=2mm+3,4∴{an}是等比数列.(2)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)S1+2ma1=m+3,即a1=1,∴b1=1.∵数列{an}的公比q
