2018年高考数学（理）二轮专题复习突破精练：专题对点练14　数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题 Word版含解析

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1、专题对点练14　数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题　专题对点练第19页　 1、若数列{an}满足:a1=，a2=2，3(an+1-2an+an-1)=2、(1)证明:数列{an+1-an}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n、(1)证明由3(an+1-2an+an-1)=2可得an+1-2an+an-1=，即(an+1-an)-(an-an-1)=，故数列{an+1-an}是以a2-a1=为首项，为公差的等差数列、(2)解由(1)知an+1-an=(n-1)=(n+1)，于是累加求和得an=a1+(2+3+…+n)=n(n+1)，∴=3、

2、∴+…+=3-，∴n>5、∴最小的正整数n为6、2、(2017广东揭阳二模，理17)已知数列{an}，a1=1，an+1=+n+1、(1)求证:数列是等比教列;(2)求数列{an}的前n项和Sn、(1)证明∵an+1=+n+1，∴=2×+1，∴+1=2×，∴数列是等比教列，公比为2，首项为2、(2)解由(1)可得+1=2n，可得an=n·2n-n、设数列{n·2n}的前n项和为Tn，则Tn=2+2×22+3×23+…+n·2n，2Tn=22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1，两式相减可得-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1，∴

3、Tn=(n-1)·2n+1+2、∴Sn=(n-1)·2n+1+2-、3、已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0、(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式;(2)若S5=，求λ、解(1)由题意得a1=S1=1+λa1，故λ≠1，a1=，a1≠0、由Sn=1+λan，Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan，即an+1(λ-1)=λan、由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以、因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an=、(2)由(1)得Sn=1-、由S5=得1-，即、解得λ=-1、4、(2017吉林白山二模，理17)在数列{

4、an}中，设f(n)=an，且f(n)满足f(n+1)-2f(n)=2n(n∈N*)，且a1=1、(1)设bn=，证明数列{bn}为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn、(1)证明由已知得an+1=2an+2n，∴bn+1=+1=bn+1，∴bn+1-bn=1、又a1=1，∴b1=1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列、(2)解由(1)知，bn==n，∴an=n·2n-1、∴Sn=1+2×21+3×22+…+n·2n-1，2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n，两式相减得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n·2n=2

5、n-1-n·2n=(1-n)2n-1，∴Sn=(n-1)·2n+1、5、设数列{an}的前n项和为Sn，且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠-3、(1)求证:{an}是等比数列;(2)若数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足b1=a1，bn=f(bn-1)(n∈N*，n≥2)，求证:为等差数列，并求bn、证明(1)由(3-m)Sn+2man=m+3，得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3，两式相减，得(3+m)an+1=2man、∵m≠-3，∴，∴{an}是等比数列、(2)由(3-m)Sn+2man=m+3，得(

6、3-m)S1+2ma1=m+3，即a1=1，∴b1=1、∵数列{an}的公比q=f(m)=，∴当n≥2时，bn=f(bn-1)=，∴bnbn-1+3bn=3bn-1，∴、∴是以1为首项，为公差的等差数列，∴=1+、又=1也符合，∴bn=、6、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-2，且满足Sn=an+1+n+1(n∈N*)、(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log3(-an+1)，求数列的前n项和Tn，并求证Tn<、(1)解∵Sn=an+1+n+1(n∈N*)，∴当n=1时，-2=a2+2，解得a2=-8、当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a

7、n+1+n+1-，即an+1=3an-2，可得an+1-1=3(an-1)、当n=1时，a2-1=3(a1-1)=-9，∴数列{an-1}是等比数列，首项为-3，公比为3、∴an-1=-3n，即an=1-3n、(2)证明bn=log3(-an+1)=n，∴、∴Tn=+…+、∴Tn<、〚导学号16804192〛7、(2017湖南长郡中学模拟，理17)在数列{an}中，Sn为其前n项和，an>0，且4Sn=+2an+1(n∈N*)，数列{bn}为等比数列，公比q>1，b1=a1，且2b2，b4，3b3成等差数列、(1)求{an}与{bn}的通项公式;(2)令cn

8、=，若{cn}的前n项和为Tn，求证:Tn<6、(1