江苏专用高考数学复习专题6数列第49练高考大题突破练_数列理含解析

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1、第49练高考大题突破练—数列[基础保分练]1.(2019·扬州质检)已知等差数列{an}的公差为2,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(n∈N*),Sn是数列{bn}的前n项和,求使Sn<成立的最大正整数n.2.已知数列{an}中,a1=2且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{an-n}是等比数列;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,2Sn=(n+1)an+1(n≥2).(1)

2、求{an}的通项公式;(2)设bn=(n∈N*),数列bn的前n项和为Tn,证明:Tn<(n∈N*).[能力提升练]4.(2019·南京模拟)若数列{an}是公差为2的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ

3、+5),解得a1=3,故an=2n+1,n∈N*.(2)由bn==,得Sn=b1+b2+…+bn,===,由<,解得n<6.故所求的最大正整数n为5.2.解 (1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)a2=4,a3=7,an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)],又a1-1=1,所以=2(n≥2,n∈N*),所以{an-n}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1,即an=2n-1+n,所以bn==1+,设cn=,且{an}的前n项和为Tn,所以Tn

4、=++++…+,①Tn=+++…+,②①-②得Tn=1+-=1+·-=2-.所以Tn=4-,Sn=n+4-.3.(1)解 当n=2时,2S2=3a2+1,解得a2=2;当n=3时,2S3=4a3+1,解得a3=3.当n≥3时,2Sn=(n+1)an+1,2Sn-1=nan-1+1,以上两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1,∴=,∴==…==1,∴an=(2)证明 bn==当n=1时,T1<明显成立,当n≥2时,bn=<=-,∴当n≥2时,Tn<+++…+=-<.∴不等式得证.4.解 (1)∵数列{bn}满足b1=

5、1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.∴当n=1时,a1+1=2,解得a1=1.又数列{an}是公差为2的等差数列,∴an=1+2(n-1)=2n-1.∴2nbn=nbn+1,即2bn=bn+1,∴数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.∴bn=2n-1.(2)由数列{cn}满足cn===,数列{cn}的前n项和为Tn=1+++…+,Tn=++…++,两式作差,得Tn=1+++…+-=-=2-,∴Tn=4-.不等式(-1)nλ

6、λ<3.n为奇数时,-λ<4-对一切n∈N*恒成立,取n=1,得λ>-2.综上,实数λ的取值范围是(-2,3).

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