2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式课件北师大版.pptx

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1、第一章§3平均值不等式第1课时　平均值不等式学习目标1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　二元平均值不等式思考　回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件.答案a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.梳理(1)重要不等式定理1：对任意实数a，b，有a2＋b22ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).(2)二元平均值不等式①定理2：对任意两个正数a，b，有____________(

2、当且仅当时取“＝”号).②定理2的应用：对两个正实数x，y，(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当时，它们的积P取得最值；(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当时，它们的和S取得最值.≥a＝bx＝y大x＝y小知识点二　三元平均值不等式思考　类比二元平均值不等式：(a＞0，b＞0)，请写出a，b，c∈R＋时，三元平均值不等式.梳理(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c33abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号).(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号).(3)平均值不等式的推广≥≥算术平均值几何平均值≥

3、题型探究A.③B.③④C.②③D.①②③④类型一　平均值不等式成立的条件答案解析√解析　在①④中，lgx∈R，sinx∈[－1,1]，不能确定lgx>0，sinx>0，因此①④错误；当且仅当x＝0时取等号，故②正确；反思与感悟　平均值不等式成立的条件(1)各项均为正数.(2)当且仅当各项均相等时，“＝”才能成立.跟踪训练1设a，b为实数，且ab>0，下列不等式中一定成立的个数是A.1B.2C.3D.4√当a，b<0时，②不成立；当a＝－1，b＝－2时，④不成立.因此，①③成立，故选B.答案解析类型二　用平均值不等式证明不等式当且仅当a＝b＝c时等号成立.

4、证明引申探究证明当且仅当a＝b＝c时取等号.证明证明当且仅当a＝b＝c时等号成立.反思与感悟　证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均值不等式证明.(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.跟踪训练2(1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；证明证明a4＋b4≥2a2b2，同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，将以上三个不等式相加，得a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b

5、2＋2a2c2＋2b2c2，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.当且仅当a＝b＝c时，等号成立.证明类型三　证明不等式的技巧——“1”的代换证明证明　方法一　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.引申探究证明证明　∵a2＋b2≥2ab，证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ac，即2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，∴2(a2＋b2＋

6、c2)＋a2＋b2＋c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，证明证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.证明反思与感悟　用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.证明　∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘证明达标检测124351.下列不等式中，正确的个数是答案解析A.0B.1C.2D.3√12435解析　显然①不正确；③正确；④不正确，如a＝1，b＝4.124352.下

7、列不等式的证明过程正确的是答案解析√12435解析　对于A，a，b必须同号；对于B，cosx不一定大于0；对于C，由x＜0，12435当且仅当a＝b＝2时，等号成立.答案解析√12435答案解析3故函数的最小值为3.12435证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，证明规律与方法1.应用平均值不等式证明问题时，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.对于二元平均值不等式有以下结论.(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.2.对于三元平均值不等式有以下结论.上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均

8、为a＝b＝c.本课结束