2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版

2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版

ID:37493743

大小:175.62 KB

页数:13页

时间:2019-05-24

2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版_第1页
2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版_第2页
2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版_第3页
2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版_第4页
2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版_第5页
资源描述:

《2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、第1课时 平均值不等式学习目标 1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题.知识点一 二元平均值不等式思考 回顾a2+b2≥2ab的证明过程,并说明等号成立的条件.答案 a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,a2+b2=2ab.梳理 (1)重要不等式定理1:对任意实数a,b,有a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).(2)二元平均值不等式①定理2:对任意两个正数a,b,有≥(当且仅当a=b时取“=”号).②定理2的应用:对两个正实数x,y,(ⅰ)如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它

2、们的积P取得最大值;(ⅱ)如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.知识点二 三元平均值不等式思考 类比二元平均值不等式:≥(a>0,b>0),请写出a,b,c∈R+时,三元平均值不等式.答案 ≥.梳理 (1)定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取“=”号).(2)定理4:对任意三个正数a,b,c,有≥(当且仅当a=b=c时取“=”号).(3)平均值不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an(n≥2),把数值,分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值,且有≥,当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号.类型一 平均值不等式

3、成立的条件例1 给出以下说法:①任意x>0,lgx+≥2;②任意x∈R,ax+≥2(a>0且a≠1);③任意x∈,tanx+≥2;④任意x∈R,sinx+≥2.其中正确的是(  )A.③B.③④C.②③D.①②③④答案 C解析 在①④中,lgx∈R,sinx∈[-1,1],不能确定lgx>0,sinx>0,因此①④错误;在②中,ax>0,ax+≥2=2,当且仅当x=0时取等号,故②正确;在③中,当x∈时,tanx>0,有tanx+≥2,当且仅当x=时取等号,故③正确.故选C.反思与感悟 平均值不等式成立的条件(1)各项均为正数.(2)当且仅当各项均相等时,“=”才能成立.跟踪训练1 设a,b为

4、实数,且ab>0,下列不等式中一定成立的个数是(  )①+≥2;②a+b≥2;③+≥;④+≥a+b.A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ∵ab>0,∴+≥2=2,①成立;当a,b<0时,②不成立;+≥,③成立;当a=-1,b=-2时,④不成立.因此,①③成立,故选B.类型二 用平均值不等式证明不等式例2 已知a,b,c∈R+.求证:a3+b3+c3+≥2.证明 ∵a3+b3+c3+≥3abc+≥2.当且仅当a=b=c时等号成立.∴a3+b3+c3+≥2.引申探究1.若本例条件不变,求证:++≥3.证明 ++=+-3≥3+3-3=6-3=3,当且仅当a=b=c时取等号.2.若本例条件不变,求证

5、:(a+b+c)≥9.证明 ∵当a,b,c∈R+时,a+b+c≥3,∴(a+b+c)≥9,当且仅当a=b=c时等号成立.3.若本例条件不变,求证:(a+b+c)·≥.证明 ∵(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3,++≥3,∴(a+b+c)≥,当且仅当a=b=c时等号成立.反思与感悟 证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均值不等式证明.(2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.跟踪训练2 (1)已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2

6、;(2)设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.证明 (1)a4+b4≥2a2b2,同理a4+c4≥2a2c2,b4+c4≥2b2c2,将以上三个不等式相加,得a4+b4+a4+c4+b4+c4≥2a2b2+2a2c2+2b2c2,即a4+b4+c4≥a2b2+a2c2+b2c2,当且仅当a=b=c时,等号成立.(2)∵当a>0,b>0时,a+b≥2,∴+≥2=2c.同理+≥2=2b,+≥2=2a.将以上三不等式相加,得2≥2(a+b+c),∴++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.类型三 证明不等式的技巧——“1”的代换例3 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:++

7、≥9.证明 方法一 ∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,∴++=++=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时,等号成立.∴++≥9.方法二 ∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1,∴++=(a+b+c)=1++++1++++1=3+++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c时,等号成立.∴++≥9.引申探究1.若本例条件不变,求证:++≥1.证明 ∵a2+b2≥2

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。