高中数学第1章不等关系与基本不等式3平均值不等式第2课时运用平均值不等式求最大（小）值学案北师大版

《高中数学第1章不等关系与基本不等式3平均值不等式第2课时运用平均值不等式求最大（小）值学案北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2课时　运用平均值不等式求最大(小)值学习目标：1.能利用平均值不等式求简单的最大(小)值．(重点)2.掌握建立不等式模型，解决实际问题中的最值．(难点)教材整理　两个重要结论阅读教材P10～P14，完成下列问题．1．已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则(1)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，S取得最小值2；(2)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值.2．若a，b，c均为正数，(1)如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c时，积abc有最大值；(2)如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和a＋b＋c有最

2、小值．填空：(1)若x>0时，＋x的最小值是________．(2)当取得最小值时，x取________．[解析]　(1)x>0时，x＋≥2，故最小值为2.(2)＝＋≥2，这时x＝0.[答案]　(1)2　(2)0利用平均值不等式求最大(小)值【例1】　设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为__________．[精彩点拨]　由条件消去y，然后利用平均值不等式求最小值．[自主解答]　由x－2y＋3z＝0，得y＝，∴＝＝≥＝3.当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.[答案]　3本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函

3、数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的能使用基本不等式求最值的问题．1．函数y＝(x>－1)的最大值是______．[解析]　y＝＝.∵x>－1，∴x＋1>0.因此x＋1＋≥2，x＋1＋＋3≥3＋2.当且仅当x＋1＝，x＝－1时等号成立．∴00，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[精彩点拨]　本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要

4、的变形，再用平均值不等式求得和的最小值．[自主解答]　法一：∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.法二：由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，可知x>1，y>9，而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16.所以当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首

5、先，看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．[解]　∵x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＝1，∴＋＝＋＝1＋＋＋2≥3＋2.当＝，即x＝y，也就是y＝＝1－

6、，x＝－1时等号成立，故＋的最小值为3＋2.用平均值不等式求解应用题[探究问题]解不等式实际应用题的解题思路是怎样的？[提示]　解不等式实际应用题的解题思路【例3】　如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[精彩点拨]　→→[自主解答]　法一：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋

7、25，其中a>0，b>0.广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2＝18500＋2＝24500.当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75.即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500cm2.故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm2.法二：设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25，两栏的面积之和为2(x－20)·＝

8、18000，由此得y＝＋25.广告的面积S＝xy＝x＝·x＋25x，整理得S＝＋25(x－20)＋18500，因为x－20>0，所以S≥2＋18500＝24500.当且仅当＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x>20)，解得x＝140，代入y＝＋2