2019_2020学年高中数学第1章不等关系与基本不等式3平均值不等式第1课时平均值不等式学案北师大版

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1、第1课时　平均值不等式学习目标：1.了解两个(三个)正数的算术平均值与几何平均值．(易错、易误点)2.掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式．(重点、难点)教材整理　平均值不等式阅读教材P10～P12“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．2．定理2：对任意两个正数a，b，有≥(当且仅当a＝b时取“＝”号)．语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．3．定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(当且

2、仅当a＝b＝c时取“＝”号)．4．定理4：对任意三个正数a，b，c，有≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)x＋≥2.(　　)(2)ex＋≥2.(　　)(3)当a，b，c不全为正数时，≥成立.(　　)(4)＋＋≥3.(　　)[解析]　(1)×　当x>0时，x＋≥2，当x<0时，x＋≤－2.(2)√　因为ex>0，∴ex＋≥2，当且仅当x＝0时取等号．(3)×　如a＝1，b＝c＝－1时，＝－，但＝1.这时有<.(4)×　当a，b，

3、c同号时，，，均为正数，有＋＋≥3，当且仅当a＝b＝c时取等号．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×平均值不等式的条件判定【例1】　命题：①任意x＞0，lgx＋≥2；②任意x∈R，ax＋≥2(a>0且a≠1)；③任意x∈，tanx＋≥2；④任意x∈R，sinx＋≥2.其中真命题有(　　)A．③　B．③④C．②③D．①②③④[精彩点拨]　关键看是否满足平均值不等式．[自主解答]　在①，④中，lgx∈R，sinx∈[－1,1]，不能确定lgx＞0与sinx＞0，因此①，④是假命题．在②中，ax＞0，ax＋≥2＝2，当且

4、仅当x＝0时取等号，故②是真命题．在③中，当x∈时，tanx＞0，有tanx＋≥2，且x＝时取等号，故③是真命题．[答案]　C本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理2中，“a＝b”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)≥是a2＋b2≥2ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，b∈R；(2)a，b大于0是≥的充分不必要条件；a，b为实数是a2＋b2≥2ab的充要条件．1．设a，b为实数，且ab＞0，下列不等式中一定成立的个数是(　　)①＋≥2；②a＋b≥2；

5、③＋≥；④＋≥a＋b.A．1　B．2C．3D．4[解析]　∵ab＞0，∴＋≥2＝2，①成立；a，b＜0时，②不成立；＋≥，③成立；当a＝－1，b＝－2时，④不成立．因此，①③成立．[答案]　B证明简单的不等式【例2】　(1)已知a，b，c∈R.求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.[精彩点拨]　本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．[自主解答]　(1)a4＋b

6、4≥2a2b2，同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，将以上三个不等式相加得：a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.(2)∵当a>0，b>0时，a＋b≥2，∴＋≥2＝2c.同理：＋≥2＝2b，＋≥2＝2a.将以上三个不等式相加得：2≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c.平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续

7、多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．2．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27.[证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b＋c≥3＞0，从而(a＋b＋c)2≥9＞0，又＋＋≥3＞0，∴(a＋b＋c)2≥3·9＝27.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．故原不等式成立.平均值不等式的变式及条件不等式的证明[探究问题]1．不等式≥，≥成立的条件都是a，b，c为正数，在条件b≥a>0成立时，a，，，，，b之间有怎样的大小关系？[提示]　a≤≤≤≤≤b.2．若问题中一端出现“和式”，另一端出现“积式”时，这便

8、是应用不等式的“题眼”，那么若条件中有“和式为1”时，应如何思考？[提示]　应用平均值不等式时，一定要注意条件a>0，b>0，c>0.若有“和式为1”时，常反过来应用“1”的代换，即把“1”化成“和”，再试着应用平均值不等式．【例3】　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：(1)