2018-2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式3第1课时平均值不等式学案北师大版选修

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1、第1课时　平均值不等式学习目标　1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题．知识点一　二元平均值不等式思考　回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．答案　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.梳理　(1)重要不等式定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．(2)二元平均值不等式①定理2：对任意两个正数a，b，有≥(当且仅当a＝b时取“＝”号)．②定理2的

2、应用：对两个正实数x，y，(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．知识点二　三元平均值不等式思考　类比二元平均值不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出a，b，c∈R＋时，三元平均值不等式．答案　≥.梳理　(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．(3)平均值不等式的推广对于n个正数a

3、1，a2，…，an(n≥2)，把数值，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时取“＝”号.类型一　平均值不等式成立的条件例1　给出以下说法：①任意x>0，lgx＋≥2；②任意x∈R，ax＋≥2(a>0且a≠1)；③任意x∈，tanx＋≥2；④任意x∈R，sinx＋≥2.其中正确的是(　　)A．③B．③④C．②③D．①②③④答案　C解析　在①④中，lgx∈R，sinx∈[－1,1]，不能确定lgx>0，sinx>0，因此①④错误；在②中，ax>0，ax＋≥2＝2，当且仅当x＝0时

4、取等号，故②正确；在③中，当x∈时，tanx>0，有tanx＋≥2，当且仅当x＝时取等号，故③正确．故选C.反思与感悟　平均值不等式成立的条件(1)各项均为正数．(2)当且仅当各项均相等时，“＝”才能成立．跟踪训练1　设a，b为实数，且ab>0，下列不等式中一定成立的个数是(　　)①＋≥2；②a＋b≥2；③＋≥；④＋≥a＋b.A．1B．2C．3D．4答案　B解析　∵ab>0，∴＋≥2＝2，①成立；当a，b<0时，②不成立；＋≥，③成立；当a＝－1，b＝－2时，④不成立．因此，①③成立，故选B.类型二　用平均值不等式证明

5、不等式例2　已知a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋≥2.证明　∵a3＋b3＋c3＋≥3abc＋≥2.当且仅当a＝b＝c时等号成立．∴a3＋b3＋c3＋≥2.引申探究1．若本例条件不变，求证：＋＋≥3.证明　＋＋＝＋－3≥3＋3－3＝6－3＝3，当且仅当a＝b＝c时取等号．2．若本例条件不变，求证：(a＋b＋c)≥9.证明　∵当a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥3，∴(a＋b＋c)≥9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．3．若本例条件不变，求证：(a＋b＋c)·≥.证明　∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3，＋＋≥

6、3，∴(a＋b＋c)≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立．反思与感悟　证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均值不等式证明．(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．跟踪训练2　(1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明　(1)a4＋b4≥2a2b2，同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，将

7、以上三个不等式相加，得a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(2)∵当a>0，b>0时，a＋b≥2，∴＋≥2＝2c.同理＋≥2＝2b，＋≥2＝2a.将以上三不等式相加，得2≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．类型三　证明不等式的技巧——“1”的代换例3　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明　方法一　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝

8、＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．∴＋＋≥9.方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．∴＋＋≥9.引申探究1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.证明　∵a2＋b2≥2