三次样条插值函数.pptx

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1、三次样条插值函数4.5.1三次样条差值函数的力学背景在工程和数学应用中常有这么一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑的曲线把这些点按次序连接起来。在过去很长一段时间内，工程技术人员为了得到这条光滑的曲线，常常使用一条富有弹性的均匀细木条（或是有机玻璃条），一次经过这些点，并用亚铁在若干点处压住，然后沿这条细木条画出一条光滑的曲线，并形象地称之为“样条曲线”。在力学上，如果把细木条看成弹性细梁，亚铁看成作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就可模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。如果用A表示细梁的刚度系数，M表示弯矩，在建立坐标系后，由于样条是均匀细木条

2、，在两个相邻压铁之间无任何外力，所以M是的线性函数，A为常数，由力学知识可得其中为“样条曲线”y=y(x)的曲率，由数学知识对于一条光滑曲线。一般来讲，上述样条曲线所适合的微分方程是非线性的，它的解是无法用初等函数表示的，但在通常称为“小挠度”的情况下，即细梁弯曲不大，1时，可以忽略的影响，从而得到近似方程A。由于M为线性函数，故有，即“样条曲线”为分段多项式，且曲线的函数值、一阶导数、二阶导数都是连续的，而三阶导数是间断的，这就是三次样条差值函数的力学背景。4.5.2三次样条差值函数定义4.5.1设在区间上给定一个分割如果定义在上的一个函数满足下列条件：(1)在每个小区间上，是三次多项式

3、；(2)在整个区间上，为二阶连续可导函数，也就是说在每个节点处(4.5.2)则称为三次样条插值函数。对定义在区间上的函数，如果存在三次样条插值函数，使得在节点处满足(4.5.3)就称为插值于的三次样条函数，简称三次样条插值函数。问题一：如果并不知道函数的解析表达式，而只知道其在节点处的值，如何估计？一个很自然的方法就是求插值于三次样条插值函数，以作为对的逼近。问题二：那么如何求呢？可利用及其一阶、二阶导数来建立的表达式及连续方程。M连续方程与的表达式记，，根据三次样条插值函数的定义可知的二阶导数在每一个子区间上都是线性函数，于是在上的二阶导数可表示为，(4.5.4)对连续积分两次得，(4.

4、5.5)，(4.5.6)由插值条件(4.5.5)和(4.5.6)得由式(4.5.5)得由于一阶导数连续，，所以由上式可得n-1个等式。该方程组称为S(x)的M连续方程。相邻区间的长度比插值数据在处的二阶中心差商的3倍故式子说明插值函数的二阶导数在,,三点处的加权平均（权因子分别为/3，2/3/3）为被插数据在处的二阶中心差商。这就是力学上的“三弯矩”关系。m连续方程与的表达式利用Hermite插值公式，在区间上++连续求导两次得从而得由于二阶导数连续，式子可化为该式子为S(x)的m连续方程其中，同上边界条件方程组都为n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组无法保证唯一解加两个条件按具体问题

5、的要求在区间端点给出约束条件，称为边界条件边界条件的分类第一类边界条件给定区间两端点的斜率第二类边界条件给定区间两端点的二阶导数第三类边界条件假设是以为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数也是周期函数，对加上周期条件讨论M连续方程的各类边界条件对于第一类边界条件，可利用M连续方程由得到边界上的关系式带入A的表达式可得对于第二类边界条件，由条件式可得结合可得其中当时，式子即为当时，式子即为则可写成一个矩阵形式=由于该方程组的系数是强对角占优，因此有唯一解对于第三类边界条件，由，可推出其中=，=，)=联立得方程组，且该方程组仅有唯一解。三次样条插值函数的性质性质一极小模性质设是任一被插值函数

6、，是自然三次样条插值函数，则有式中等号当且仅当时成立例4.5.1设)为定义在区间上的函数，分割基点为，并给出和，试求三次样条插值函数，并使其满足边界条件性质二最佳逼近性质设是任一被插值函数，是带有斜率边界条件的三次样条插值函数，是与有相同分割的任一三次样条插值函数，则有性质三误差估计设函数，的一个分割，是关于带有斜率边界条件或二阶导数边界条件的插值函数，则有插值估计其中是分割比，并且系数与是最优估计