定积分及其应用概要.ppt

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1、第六章定积分及其应用§6.1定积分的概念§6.2定积分的性质§6.3微积分学基本定理§6.4定积分的计算方法§6.5广义积分§6.6定积分的应用1第六章定积分及其应用4.如何计算定积分和应用定积分?前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题——不定积分.这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.1.什么是定积分?2.定积分有哪些性质?3.定积分与不定积分有何关系?本章的主要问题有:2一.引例(曲边梯形的面积)定义1.在直角坐标系中,由一条连续曲线y=ƒ(x)和三条直线x=a

2、、x=b和y=0(x轴)所围成的图形,称为曲边梯形,如右图AabBA(与直边梯形AabB的区别).oxyy=0y=ƒ(x)x=ax=babBA§6.1定积分的概念当y=ƒ(x)0时,曲边梯形AabB的面积怎么求呢?中学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积,下面利用矩形的面积来求曲边梯形AabB的面积.问题:3从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.oxyy=ƒ(x)abBAx+ΔxxHCDEF{Δy因而,如果把区间[a,b]任意地划分为n个小区间,并在每一个区间上任取一点,

3、再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a,b]来说是一个变量,其最大值与最小值之差较大;但从区间[a,b]的一个局部(小区间)来看,它也是一个变量;但因ƒ(x)连续,从而当Δx→0时,Δy→0,故可将此区间的高近似看为一个常量,4视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值.要想得精确值,只需区间[a,b]的分法无限细密(即每个小区间的长度Δx→0)时,全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面

4、积的精确值.从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:I.化整为零(或分割)——任意划分(如右图)用分点oxyy=ƒ(x)将区间[a,b]任意地划分为n个小区间5oxyy=ƒ(x)记第i个小区间的长度为过每个分点作垂直于x轴的直线,将曲边梯形分成n个窄曲边梯形(如上图).若用S表示曲边梯形的面积,表示第i个窄曲边梯形(阴影部分)的面积,则有II.近似代替(或以直代曲)——任意取点在每个小区间上任取一点以为高、以小区间的长度为底6则该窄矩形的面积为了从近似过度到精确,将所有的窄矩形的面积相加,就得曲边梯形的

5、面积的近似值,即III.求和、取极限作窄矩形(如右图).近似等于,即记各小区间的最大长度为当分点数n无限增大且各小区间的最大长度对上述和式取极限就得曲边梯形的面积,即7二.定积分的定义由引例知,把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结为一个特殊和式的极限.这种和式的极限应用极广,可解决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,定义1.设ƒ(x)在[a,b]上有定义,点在每个小区间上任取一点就有定积分的定义:将区间[a,b]任意地划分为n个小区间;每个小区间的长度

6、为作和式8若当时,有确定的极限值I,且I与区间[a,b]的分法和的取法无关,则称函数ƒ(x)在区间[a,b]上可积,并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a,b]上的定积分,记为称为积分和.其中ƒ(x)为被积函数,ƒ(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,a称为积分下限,b称为积分上限,[a,b]称为积分区即注1.若ƒ(x)在区间[a,b]上可积,则定积分的字母无关,即它仅与被积函数ƒ(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量C常数,9注2.极限过程,既保证了分点个数无限增多(),又保证了区间分割无限细密(即所

7、有小区间的长度都趋于0).因此,对于可积函数ƒ(x),若要用定义来计算若只有则不能保证区间分割无限细密.注3.ƒ(x)在区间[a,b]上可积的充要条件是极限且此极限值与[a,b]的分法和的取法无关.则可选择较为方便的区间分法和的取法,使得计算简便.10三.函数可积的条件由注3知,每个函数的可积性与积分和的极限的存在性等价,但求积分和的极限,却非常困难.定理1.若ƒ(x)在区间[a,b]上无界,则ƒ(x)在[a,b]上必不可积.问题:下面给出函数可积的几个定理:其等价命题为“可积函数必有界”——函数可积的必要条

8、件.以下三个定理是函数可积的充分条件.定理2.若ƒ(x)在区间[a,b]上连续,则ƒ(x)在[a,b]上可积.定理3.若ƒ(x)在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点,则ƒ(x)在[a,b]上可积.11注4.有了函数可积的充分条件,就可借助定义1来例1利用定积分定义计算定积分可将区间[0,4]特殊划分并特殊取点.定理4.若ƒ(x)在区间[a,b]上单调有界,则ƒ(x)在[a,b]上可积.解因ƒ(x