定积分及其应用.ppt.ppt

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1、第五章定积分及其应用本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理学和社会科学。会有这样一天，经济的争执能够用数学以一种没有争吵的方式来解决，现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。伽德纳Archimedes第一节定积分的概念与性质abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、定积分问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（

2、四个小矩形）（九个小矩形）Aera=?公元前二百多年前的阿基米德就已会用此法求出许多不规则图形的面积阿基米德观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的

3、关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细

4、时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示：（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限曲边梯形面积为求曲边梯形面积所用的方法步骤：分割、近似代替、求和、取极限.实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割（3）求和（4）取极

5、限（2）近似代替二、定积分的定义定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限黎曼积分积分和注意:则则当例1利用定义计算定积分解曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义前前定理1定理2定积分存在定理(可积充分条件)三、定积分的性质对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．证明（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1证明性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3证明性质4性质5性质5的推论：证明（1）（

6、定积分不等式性质）证明说明：可积性是显然的.性质5的推论：(绝对值不等式性质)解令于是证明（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6解解证明由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：解由积分中值定理知有使(定积分第二中值定理.)7和小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）

7、不计算定积分比较积分大小．证命题得证所以可积必有界.思考题1、将和式极限：2、表示成定积分.思考题解答1、原式例证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得故练习题练习题答案练习题答案