仓库容量有限条件下的随机存贮管理问题.pdf

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1、华南理工大学：邵丹，胡海涛，刘晓勇仓库容量有限条件下的随机存贮管理问题华南理工大学：邵丹，胡海涛，刘晓勇摘要：本文讨论了仓库容量有限条件下的随机存贮管理问题。首先建立了一个理论模型，根据题目要求写出平均费用的函数，该函数是关于订货点L和缺货天数X的函数，因为缺货天数X是一随机变量，这里给出了X为离散型和连续型两种模型，分三种情况讨论了各自的损失费用，然后得出期望平均费用函数E[f(L,X)]，经过Maple软件的辅助，dE[f(L,X)]*对L进行求导，令=0从而得出求解最优订货点的L方程。由于计算量太dL过庞大，所以在建立理论模型之后，本文还给出了一种比较实用的求解全局最优的遍历搜索算法，应

2、用于问题2中求解出了三种商品各自的最佳订货点。经SPSS验证可知，问题2中给出的3种商品的缺货天数X不符合一些常见连续型的概率分布，故在求解时将X看做离散型的随机变量，采用频率替换的方法，计算出各自的P(X)，经遍历搜索*找到最佳订货点。在问题3中，类似问题1的解法，求出计算最佳订货点L的理论模i型，同时为便于问题4的求解，依然采用解决问题2的遍历算法，经Matlab编程求解*得出问题4的最佳订货点L、Q和Q。问题5中假定商品的销售量是离散变化的，采0ii用马氏链模型，在问题2的基础上补充假设条件，给出了单品种商品随机存贮模型，这一模型结合实际可以加以推广。本文分为三个部分：第一部分是问题重述

3、；第二部分是给出随机存贮问题的数学模型和一个搜索算法，通过计算机编程，应用于问题2和4中，从而给出了实际问题的最优解。第三部分为模型的评价和推广。关键字：随机存贮，K－S检验，频率替换，遍历搜索，马氏链模型2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖华南理工大学：邵丹，胡海涛，刘晓勇一、问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。本问题主要考虑的是在销售速率固定，交货时间为一随机变量的情况下，商场如何确定最优的订货*点L来使

4、的其总的损失费用达到最低。二、数学建模和问题求解（一）问题1：1.1模型假设：1．供货量充足2．每次订货的时候存贮量q刚好是L。1.2符号说明：c：每次进货的订货费1c：使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用2c：使用租用的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用3c：缺货情况下，单位商品每天的损失费用4X：交货时间，是一个随机变量Q：自己的仓库用于存贮商品的最大容量0Q：到货时商品的存贮量q：商品的存贮量L：订货点，即订货时商品所剩下的存贮量*L：最优订货点，即使总损失费用达到最低的订货点2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖华南理工大学：邵丹，胡海涛，刘晓勇f(L,X)：一个订货周

5、期内的平均总损失费用，是关于L和X的函数p(X)：交货时间的概率密度函数1.3解题思路：假设随机变量X（交货时间）的密度函数已知为p(x)。考虑某个周期内平均每天*的损失费用设为g(L)，求其最小时L的取值L。因为L£Q和L>Q时g(L)的表达式00*是不同的，所以分三步来求。L**（1）当L£Q时，求出L=L(px())，使得g(L)=min(g(L),"L£Q)。01110**（2）当L>Q时，求出L=L(p(x))，使得g(L)=min(g(L),"L>Q)最小。02220***ìLg(L)£g(L)*ï112（3）L=í***ïîL2g(L1)>g(L2)1.4具体步骤第一步：考虑L£

6、Q时一个周期内平均每天的损失费用f(L,X)。0LL因为在一个周期内可能会发生0£X£（会发生缺货）或X>（不会缺货）的rr情况。分别考虑得到费用函数为：ìc2rL2A-(X-)ï2rLï0£X£Q-LrïX+ïrf(L,X)=íïLA+cr(X-)4LïrX>ïQ-LrïX+îr22cQ(c-c)(Q-Q)2320其中A=c++12r2r现在来具体解释f(L,X)：2005年全国研究生数学建模竞赛一等奖华南理工大学：邵丹，胡海涛，刘晓勇L（1）当0£X£时r图1.1L存贮量L£Q0£X£0rQQ0CLd0Q-LQa=a+X2a+X时间rr见图1.1：设在0时刻，存贮量为Q；在时a刻存贮量降为

7、，L开始订货（易知Q-La=）。在X+a时刻货到，在X+2a存贮量又降为。L以[aX+2a]为一个周期，r求其费用。由图易知，[aX+2a]周期内的费用等于[0a+X]的费用，所以只需求[0a+X]的费用，其值为c+c´S(QQc)+c´S(0Qca+X)（注：13020S(QQc)表示(QQc)围成的面积）。易证00c+´c´S(QQc)+c´S(0Qca+X)=13020QQc+c´S(0Q)