仓库容量有限条件下的随机存贮管理问题

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1、仓库容量有限条件下的随机存贮管理问题摘要：本文讨论了仓库容量有限条件下的随机存贮管理问题。首先建立了一个理论模型，根据题目要求写出平均费用的函数，该函数是关于订货点L和缺货天数X的函数，因为缺货天数X是一随机变量，这里给出了X为离散型和连续型两种模型，分三种情况讨论了各自的损失费用，然后得出期望平均费用函数，经过Maple软件的辅助，对L进行求导，令从而得出求解最优订货点的方程。由于计算量太过庞大，所以在建立理论模型之后，本文还给出了一种比较实用的求解全局最优的遍历搜索算法，应用于问题2中求解出了三种商品各自的最佳订货点。经SPSS验证可知，问题2中给出的3种商品的缺货天

2、数X不符合一些常见连续型的概率分布，故在求解时将X看做离散型的随机变量，采用频率替换的方法，计算出各自的P(X)，经遍历搜索找到最佳订货点。在问题3中，类似问题1的解法，求出计算最佳订货点的理论模型，同时为便于问题4的求解，依然采用解决问题2的遍历算法，经Matlab编程求解得出问题4的最佳订货点、和。问题5中假定商品的销售量是离散变化的，采用马氏链模型，在问题2的基础上补充假设条件，给出了单品种商品随机存贮模型，这一模型结合实际可以加以推广。本文分为三个部分：第一部分是问题重述；第二部分是给出随机存贮问题的数学模型和一个搜索算法，通过计算机编程，应用于问题2和4中，从而

3、给出了实际问题的最优解。第三部分为模型的评价和推广。关键字：随机存贮，K－S检验，频率替换，遍历搜索，马氏链模型一、问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。本问题主要考虑的是在销售速率固定，交货时间为一随机变量的情况下，商场如何确定最优的订货点来使的其总的损失费用达到最低。二、数学建模和问题求解（一）问题1：1.1模型假设：1．供货量充足2．每次订货的时候存贮量q刚好是L。1.2符号说明：：每

4、次进货的订货费：使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用：使用租用的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用：缺货情况下，单位商品每天的损失费用：交货时间，是一个随机变量：自己的仓库用于存贮商品的最大容量：到货时商品的存贮量：商品的存贮量：订货点，即订货时商品所剩下的存贮量：最优订货点，即使总损失费用达到最低的订货点：一个订货周期内的平均总损失费用，是关于和的函数：交货时间的概率密度函数1.3解题思路：假设随机变量（交货时间）的密度函数已知为。考虑某个周期内平均每天的损失费用设为，求其最小时的取值。因为和时的表达式是不同的，所以分三步来求。（1）当时，求出，使得。（

5、2）当时，求出，使得最小。（3）1.4具体步骤第一步：考虑时一个周期内平均每天的损失费用。因为在一个周期内可能会发生（会发生缺货）或（不会缺货）的情况。分别考虑得到费用函数为：其中现在来具体解释：（1）当时见图1.1：设在0时刻，存贮量为；在时刻存贮量降为，开始订货（易知）。在时刻货到，在存贮量又降为。以为一个周期，求其费用。由图易知，周期内的费用等于的费用，所以只需求的费用，其值为（注：表示围成的面积）。易证所以这个周期内的平均每天的费用为。（2）当时见图1.2，考虑之间的费用，其值为。易证：所以这个周期内的平均每天的费用为要求使得平均每天费用的期望值最小，即满足：（1

6、）若为离散型：，这是一个关于的函数，在已知的情况下，令=0，可求得（2）若为连续型则＝＝＝这是一个关于的函数，令=0，即可求得。通过Maple求有(1.1）则最优订货点就是代入(1.1)中使之值为0的值。第二步：考虑时一个周期内平均每天的费用。其中现在来具体解释：（1）当时见图1.3，同理考虑的费用，其值为。易证：所以这个周期内的平均每天的费用为（2）当和时候的情况，参看图1.4和1.5，类似于第一步里的情形，即可得到其平均每天的费用函数。要求使得平均每天费用的期望值最小，即要满足：（1）若为离散型：，这是一个关于的函数，在已知的情况下，令=0，可求得。（2）若为连续型：

7、＝＝＝这是一个关于的函数。令=0，即可求得。通过Maple求有(1.2)则最优订货点就是代入(1.2)中使之值为0的值。第三步：（二）问题2：2.1缺货天数的数据分析这里首先要找出缺货天数服从何种分布，下面根据题目给出的到货天数的记录判断服从的分布。我们采用单样本的K－S检验，它是一种拟合优度的非参数检验方法，利用样本的数据推断总体是否服从某一理论分布，它适用于探索连续型随机变量的分布形态。它可以将一个变量的实际频数分布与正态分布、均匀分布和指数分布进行比较。这里以商品三的缺货天数为例来检验是否服从上述三种连续型分布。上面三张