数列极限定义的教学设计

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1、数列极限定义的教学设计李梁任勤(焦作师范高等专科学校数学系454000)【摘要】极限是高等数学的基础，是高等数学中最重要的概念之一，而极极限，给出数列的描述性定义，当n无限增大时，％无限接近于a，就限定义中的符号关系复杂，不易理解，如何使学生理解极限的概念成为教称为fCta的极限。指出这种定义朴实，但不精确，科学的极限定义学的重点和难点。本文对数列极限定义教学过程的设计进行了说明。必须超越直观与想象，在运算和推理论证中具有可操作性，必须将【关键词】数列极限；逻辑语言；高等数学“无限增大”、“无限接近”这些定性描述的词句转换为定量的刻画。4向逻辑语言转化极限是高等数学的基础，是高

2、等数学中最重要的概念之一，高语句“a无限接近于Ct”的转换：该语句等价于“距离I％一al等数学中几乎所有重要的概念，如连续、导数、定积分、重积分、曲可以任意小”，因此表达成“V￡>0，Ia一dl<￡”，但此式是以“n无线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础限增大”为前提的，换句话说，此式只要求n增大到一定程度后成上．因此对它的理解和掌握直接关系到数学分析这门课掌握的好立，与最初的有限项无关。坏，以及后继课程理解的程度．然而极限定义中的符号关系复杂，“当n无限增大时，a无限接近于a”的转换：该语句等价于不易理解，如何使学生理解极限的概念成为教学的重点和难点。“V

3、￡>0，jN(某项数)，当n>N时，有la一aI<￡”。这相当于说，本文就高等数学中数列极限定义的教学过程，作如下教学设计：Vs>0，n=1，2，⋯N，时不必有1q一al<￡，从而N+1项起后所有教学设计思想：项皆有Ia一aI<￡，即laN+l一ⅡI

4、在性及N的不唯一性。￡与N这两个变量间的的方法。逻辑关系巧妙地刻画了极限的无限过程。教学过程：6精确定义1复习旧知——逻辑语言的运用给出数列极限￡一N的定义(包括记法、读法)在第一章第一节实数集中通过以下例子，不仅给出了两个结定义：设a为数列，a为常数，若V￡>0，jN，当n>N时，有论，还初步认识了e，e表示为任何正数。la一aI

5、<1辑刻画，熟悉数学中的定量语言，理解运用逻辑命题及其否命题之指出论证的目的是对任意给出的￡考察相应的N是否存在，间的转换。总结解题步骤，初步学习论证数列极限的方法，其中涉及不等式放例如：S有上(下)界∞了M，Vx∈s，有xM(x≥L)，大的技巧。S无界㈢VM，Es，使Ix0l>M9￡一N定义的几何意义去掉前N项后所有项都“挤”在点a的领域。1s印s∞>l0课余讨论题2导入新知——极限思想的产生让学生讨论问题“e的功能可否用e，e，÷来替代，可否限制介绍我国古代数学家对数列极限思想所作的贡献。如“公元K前四世纪，我国古代的哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过0<￡

6、为任意正整数，a为某正数)，n>N可否写成n≥一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭‘我们把每天取去一半所N?”让学生进一步体会e，N本质；1lllirac~≠d及a发散的逻辑刻画余的尺数就可以得到一个数列JI”这是一个无穷数列“万世不IJ并不是对每个正数e都能找到使逻辑关系成立的N，等价于竭”，强调了变化的无限性；存在正数eo，任何N都不能使逻辑关系式成立，引导学生由此逻又介绍了“三国时期的刘徽是世界数学史上最早运用这种数辑关系逐步转化，并通过与e—N定义对比，抓住其中规律。列极限的思想解决数学问题的大数学家，用这种指导思想计算圆l2师生证明数列发散，如f(一1)“，Il2面积

7、的方法，就成为刘徽割圆术。用类似刘徽割圆术的方法求出13布置作业圆周率的近似值。虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德在这样的教学过程中，极限语言的难度得到合理分解，学生循也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多”，并且重序前进，最终达到理解，掌握和运用的目标，为后继学习准备必要点结合作图，模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想“割之弥的基本工具。细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”通过模拟割圆术，使学生比较具体的感受到‘无穷数列的变化趋【参考文献】势”，