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1、12-时间序列模型12.1时间序列定义12.2时间序列模型的分类12.3Wold分解定理12.4自相关函数（不讲）12.5偏自相关函数（不讲）12.6时间序列模型的建立与预测12.7案例分析（中国人口时间序列模型）12.8回归与ARMA组合模型12-时间序列模型（第3版282页）这种建模方法的特点是不考虑其他解释变量的作用，不以经济理论为依据，而是依靠变量本身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。注重序列的平稳性。当时间序列非平稳时，首先要通过差分使序列平稳后再建立时间序列模型。对于给定的时间序列，模型形式的选择通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式的
2、选择就越准确合理。12.1时间序列定义（第3版282页）随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程。用{x,t∈T}表示。简记为{x}或x。随机过程也常简称为tt过程。时间序列：随机过程的一次观测结果称为时间序列。也用{x,tt∈T}表示，并简记为{x}或x。时间序列中的元素称为观测值。tt随机过程和时间序列一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的。本书只考虑离散型随机过程和时间序列，即观测值是从相同时间间隔点上得到的。离散型时间序列可通过两种方法获得。一种是抽样于连续变化的序列。比如某市每日中午12点观测到的气温值序列；工业流程控制过程中，对压力、液面、
3、温度等监控指标定时刻采集的观测值序列。另一种是计算一定时间间隔内的累积值。比如中国的年基本建设投资额序列、农作物年产量序列等。用L表示一阶滞后算子，定义Lx=xtt-1则k阶滞后算子定义为Lkx=xtt-k白噪声过程：对于一个随机过程{x,t∈T}，如果E(x)=0，ttVar(x)=2tσ<∞,∀t∈T；Cov(xt,xt+k)=0，(t+k)∈T,k≠0，则称{x}为白噪声过程。t3X210-1-2-350100150200250300（第3版283页）12.2时间序列模型的分类（第3版284页）一般分为四种类型:自回归过程（AR）、移动平均过程（MA）、自回归移动平均
4、过程（ARMA）和单积（整）自回归移动平均过程（ARIMA）。1.自回归过程如果一个线性随机过程可表达为x=φx+φx+…+φx+ut1t-12t-2pt-pt其中φ,i=1,…,p是自回归参数，u是白噪声过程，则这个线性过程x称itt为p阶自回归过程，用AR(p)表示。它是由x的p个滞后变量的加权和以t及u相加而成。用滞后算子表示tL-2p(1-φ1φ2L-…-φpL)xt=Φ(L)xt=ut其中2pΦ(L)=1-φ1L-φ2L-…-φpL称为自回归算子，或自回归特征多项式。12.2时间序列模型的分类（第3版284页）与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程
5、AR(p)，如果特征方程Φ(L)=0的所有根的绝对值都大于1，则该过程是一个平稳的过程。对于一般的自回归过程AR(p)，特征多项式可以分解为2pΦ(L)=1-φ1L-φ2L-…-φpL=(1-G1L)(1-G2L)...(1-GpL)-1-1-1其中G1,G2,...,Gp是特征方程Φ(L)=0的根。xt可表达为-1k1k2kpxt=Φ(L)ut=(++…+)ut-1G1L-1G2L-1GpL-1其中k1,k2,…,kp是待定常数。xt具有平稳性的条件是Φ(L)必须收敛，-1即应有
6、Gi
7、<1,i=1,2,…,p。而Gi,i=1,2,…,p是特征方程Φ(L)=0的根，所以保
8、证AR(p)过程具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为1）之外，即
9、1/Gi
10、>1。12.2时间序列模型的分类（第3版284页）保证AR(p)过程平稳的一个必要但不充分的条件是p个自回归系数之p和要小于1，即∑φi<１i=1AR(p)过程中最常用的是一阶自回归过程。x=4tφ1xt-1+ut2和二阶自回归过程0xt=φ1xt-1+φ2xt-2+ut-2-4-650100150200250300AR(1)序列（第3版285页）12.2时间序列模型的分类对于一阶自回归过程xt=φ1xt-1+ut，保持其平稳的条件是特征方程Φ(L)=(1-φ1L)=0的根的绝对值
11、必须大于1，即满足
12、1/φ1
13、>1或
14、φ1
15、<1在
16、φ1
17、<1条件下，一阶自回归过程可写为(1-φ1L)xt=ut∞-123iixt=(1-φ1L)ut=[1+φ1L+(φ1L)+(φ1L)+…]ut=(∑φ1L)uti=0∞ii既然xt是平稳过程，∑φ1L必须收敛，即一阶自回归系数φ1必须满足i=0-1
18、φ1
19、<1。这是容易理解的，如果
20、φ1
21、≥1，则(1-φ1L)发散，于是xt变成一个非平稳随机过程。（第3版285页）12.2时间序列模型的分类由AR(1)过程xt=φ1xt-1+ut有22xt=ut+φ1ut-
