利用概率方法证明数学命题

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1、【关注】l数理化研究l利用概率方法证明数学命题●宋士玉’。岳喜颖摘要：概率方法的应用已成为概率论的一个很新颖的方向。下∑§一日(∑§)f／恒等式之他中的一些数学命题，例如代数由中心拐哏定理，得limP、组合恒等式和积分不等式等等。⋯⋯～⋯一一雨=1i=1、／n≤。关键词：概率方法；数学证明；随机模型2O世纪以来，起源于机会游戏的概率论飞速发展，已经成为-F]P(．耋§≤n)_mK∑nn§=熹軎=t-}．理论严谨的数学科学。其内容丰富，结论深刻，趣味性浓厚，有独特的思想和方法。并且概率论的应用很广泛，其中运用概率论的思想方法例4：求证：n1)l1·证明：建立

2、随机模型：令E是只有两个来解决其他数学领域中的问题已成为概率论的一个很新颖的方向。下文将利用概率方法证明其他数学领域中的一些数学命题。例如利基本事件A与五的随机试验，试验E独立重复进行可列无限多次，在用概率方法证明代数恒等式、组合恒等式和积分不等式等。利用概率第n次试验中，A出现的概率为nn+1，不出现的概率为1一=方法的关键，是根据不同的数学问题，巧妙建立随机模型．然后利用概率论中的相关知识来解决该数学问题。1．设Bn=‘‘A首次出现在第n次试验中”。．~lJUBn=‘A在所用试一n、利用概率方法证明一些代数恒等式拙+++．．．+验中都没发生”-尸(B)

3、=1’1。}⋯1。=，P(oUB．)=N=．证明：建立随机模型，假设口袋中有N个球，其中m个为白球，曩而1一_Q~P(UBn)=P(Bn)=从中每次取出一球，不放回。令A：“迟早取到白球”，则有P(A)=1。令四、利用概率方法证明积分不等式A=“前i次取球，只有第i次取出的球为白球”，i=1，2,3⋯N+m一1，则例5：设‘P(x)，p(x)在(a，b)上可积，且‘P(x)有界，p(×)>0，g(x)是N-m+rbrb有有P((A)：P((A．)=∑P((A．)=∑’学=一m+klllkl_1+』((aa，，bb))上上的的凹凹函函数数，，证证明明：：gg

4、((J÷，I))≤≤二二二、l．．证(=)(==)+⋯+m(N-m)-一一+m(N-m)p(x)dxJp(x)dxN(N一1)(N一2)’’N(N一1)⋯(m+1)·m一N。N(N一1)明：建立随机模型：设连续性随机变量∈的密度函数为f(×)=一。+所++L_I_．x(alb)．显然f(x)满足f”f(x)dx：1，且f(x)非负．又设+⋯+—=：：⋯：¨N一Ip(x)dx⋯(N一1)⋯(m+1)’mm二、利用概率方法证明一些组合恒等式=‘P(所以E(‘p(引=』二‘P(X)f(x)d×：f‘p(×)l_X)一一dx=Jp(x)d例2：求证∑乙ck,Gk2

5、cs-k,-k~=Gs+，s=0，1，2，⋯，n+n2+n3．证明：j：~p(x)p(x)dx建立随机模型：设毛-b(n，，p)，i=1，2，3且∈．￡，∈。相互独立，记1一p=q，则一一一．而E(g(‘P(∈)))：』二gf‘P(x))f(x)dx：g(‘P(x))ss—hSs—hJp(x)dx有+毛+毛=s)=PfUU{毛=k1，龟=k2，毛=s—k1一k2})=∑∑=k⋯dx=一』旦(×!(x)d．因为g(x)是(a，b)上的凹函数，由，)P(：l‘2)P(毛：s—k，一k2)：∑∑pqcqcpqlap(x)dxJp(x)dx：∑∑c：cP。q，s=

6、0，1，2．⋯ln'+n+n。．另一方面，Jessen不等式得，g(E(‘P(x)))≤E(g(‘P(毒)))l故g()≤0O．Jp(x)dx可以认为∈，是n，+n+n。重贝努里试验中前n次试验中成功次数，∈是第n+1次到n+n次试验中成功的次数，∈3为从第n+n。+1次到Jp(x)g(‘P(x))d×、n+n2+n3次试验中成功的次数，所以，毛+∈2+毛-b(n1+n2+n3，p)．故P(∈———■————一一Jap(x)dx，++毛=s)=cip～q一，s=0，1，2，⋯，n+n+n。所以∑E,c：五、利用概率方法证明积分的极限Ckzcs-k1-k2=

7、Css=0，1．2,---,n1+n2+n3例6：设={，⋯+《+．一+≤】。_x，⋯≤1}．州证明：limⅡ⋯』dx1dx2⋯dx=1．证明：建立随机模型：设随机变三、利用概率方法求级数的和nb量∈(n=l，2⋯)在[O。1]上服从均匀分布，且相互独立，则有E()=例3：~-：lime∑n=1证明：建立随机模型：设毛龟⋯毛为独，E(∈：)=1，(n=1，2⋯)主‘『d×dx2．．-dxn=P((一，)立同分布随机变量，且P=k)=l_e。即∈，～P(1)根据泊松分布的可加性，Go)=P(∈2+∈2+¨’+2n)=P((+∈2+．．’+∈2，1一)=P((

8、∈+2所以，∑￡～P(n)则P(∑§=kne-nk=0,12．⋯．