概率论方法证明数学公式的若干实例

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1、2013年3月中央民族大学学报(自然科学版)Mar．，2013第22卷增刊JournalofMUC(NaturalSciencesEdition)Vol．22No．Suppl概率论方法证明数学公式的若干实例阮丹，徐赐文(中央民族大学理学院，北京100081)摘要:本文主要通过举例说明利用概率论的方法来解决初等代数和数学分析中的一些问题:利用概率的性质和方差的非负性证明不等式，利用中心极限定律求极限，并阐明利用概率方法的关键是根据不同的数学问题建立相应的随机模型，然后利用相关定理证明，从中显示出概率方法在应

2、用上的广泛性和优越性．关键词:概率论;不等式;概率模型;大数定律中图分类号:O211文献标识码:A文章编号:1005-8036(2013)增刊-0094-04引言半个世纪以来，随着概率论突飞猛进的发展，获得了举世公认的进步，并以其独特的思想方法、丰富的内容、严谨的理论被广泛应用于金融、经济、生物和其他数学分支中．利用概率论的思想方法来证明数学公式是十分重要的，然而如何借助于概率的概念、性质、公式和定理，恰当地构造出概率模型来解决其他实际问题呢，这是我们今后要解决的主要问题．本文着眼用概率论方法证明数学公式

3、，首先，介绍了概率论的发展简史．然后，介绍了通过构建概率模型、利用中心极限定理求证极限;利用方差、概率的性质证明不等式;利用常见分布的数学特征、特征函数以及辛钦大数定律证明积分．1通过构造事件证明恒等式恒等式一般比较复杂，而所学的知识有限，所以在面对一个恒等式时往往显得无从下笔，如果能够恰当地运用概率论求非负整值随机变量的数学特征的方法，构造事件并建立有关的概率模型，即可从实际问题中对恒等式进行证明．下面举一些数学公式证明过程加以说明．m+1i－1［1］Cmn+m－1例1如果m，n都是正整数，证明∑i－1

4、=i=1Cn+mn+1证明构造概率模型:袋中有n个白球与m个黑球，随机地将球取出来，直到取出白球为止，求取出的球数ξ的数学期望Εξ．因为事件{ξ≥i}在取出的前i－1个球全是黑球时才发生，所以P(ξ≥i)收稿日期:2012-11-02基金项目:国家自然科学基金(No．11171342)，中央民族大学“优秀课程”建设项目资助．作者简介:阮丹(1989－)，女(汉族)，湖北人，中央民族大学理学院2008级本科生，研究方向:统计学及应用．通讯作者:徐赐文(1963－)，男(汉族)，湖北人，中央民族大学理学院教授

5、，研究方向:金融统计和密码学．增刊阮丹等:概率论方法证明数学公式的若干实例95i－1m+1i－1CCmm=i－1(i=1，2，…，m+1)，故Εξ=∑i－1．假定把n+m个球全部从袋中取出来，令ξ1表示第1Cn+mi=1Cn+m个白球之前的黑球的个数，…，ξn+1表示最后一个白球之后的黑球的个数有:ξ1+ξ2+ξ3+…+ξn+1=m，对此式两边取数学期望，由于n个白球的分布是均匀的，所以ξ1，ξ2，…，ξn有相同的分布．故Εξ1=Εξ2=…=Εξn+1得:mΕξi=，(i=1，2，…，n+1)，n+1mn

6、+m+1Εξ=Ε(1+ξ1)=1+Εξ1=1+=，n+1n+1即证得．2用概率论思想证明不等式证明不等式是初等数学的难点，如果能灵活运用概率的概念、公式和性质，恰当地构造事件或者随机变量，就可以证明一些不等式，达到意想不到的效果．2.1利用数学期望的定义和性质证明∞∞∞2b［2］k例2设{an}{bn}均为正的收敛数列，则(∑bk)≤(∑akbk)·(∑)k=1k=1k=1ak∞证明对于正的收敛数列{an}，可以构造离散型随机变量P{ξ=ak}=Ck≥0，显然∑Ck=1．k=111再利用随机变量ξ的数学期

7、望和其函数的数学期望的乘积不小于1，即Eζ·E≥1得:ξξ∞∞ck(ac)·()≥1，∑kk∑k=1k=1akbk选取Ck=∞≥0，代入上式即证得．b∑kk=12.2利用方差的非负性证明不等式+∞k+∞k［3］λ2λ例3设λ＞0，f(x)为某一实函数，若∑f(k)＜+∞，∑f(k)＜+∞，k=0k!k=0k!+∞k2+∞kλλ2λ则成立不等式[∑f(k)]≤e∑f(k)k!k=0k!k=0证明设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，其分布列为:k－λP{ξ=k}=λe/k!(k=0，1，2，．．．)，则+∞k

8、+∞kλ－λ－λλ2Ef(ξ)=∑f(k)e=e∑f(k)，Ef(ξ)k=0k!k=0k!+∞k+∞k2λ－λ－λ2λ=∑f(k)e=e∑f(k)，k=0k!k=0k!22由于Ef(ξ)≥[Ef(ξ)]，即证得．2.3利用Holder不等式证明不等式［3］例4设α＞1，β＞1，1/α+1/β=1，ai，bi∈R，i=1，2，…，n，则成立96中央民族大学学报(自然科学版)第22卷nn1n1ααββ∑aibi≤(∑ai)(∑bi