资源描述：
《考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结中值定理这一块是考研数学的重点同时也是难点，对于中值定理这一块的和关证明题，很多同学一碰到，多数是束手无措，难以找到解题的突破口，现在跨考教育数学教研室易老师就这一问题做详细的方法介绍。这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质來证明(介值或零点定理)，若有导数则采用微分中值定理来证明(罗尔、拉格朗日、柯西定理)，这个大方向首先要弄准确，接下來就待证结论中有无导数分两块來讲述。一、结论中无导数的情况结论中无导数，接下來
2、看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。例1/⑴在［0,3］上连续,且/(0)+/(1)+/(2)=3,证明:至少存在一点cw［0,3］,使得/(c)=1.分析：待证结论中无导数，则用闭区间连续函数的性质来证，且待证的结论的屮值在闭区间上，故应采用介值定理来证明。证明：•・•/(%)在［0,2］上连续,使沏S/(0)+/(l)+/(2)53M由介值定理可得结论。二、结论中有导数情况①结论中有导数，无端点信息，则采用罗尔定理来证明。用
3、罗尔定理来证明的常见题型：•型_：严)(§)=0•型二：结论屮仅有歹的相关表达式，且导数相差一阶用罗尔定理来证明题时，难点就在找原函数上，找原函数的常用方法分为两利一为观察法，二为积分法。观察法：i)待证结论若为这种形式/Wg(^)+/(^)gW=o<=原函数为广⑴g⑴ii)待证结论若为这种形式厂忆)&⑷-f(g)g©=0u原函数为加g(x)积分法：i)待证结论若为这种形式.厂©+g©/©=0u原函数为F(x)=川"7⑴ii)待证结论若为这种形式厂⑷+g⑷厂⑷"u原函数为F(x)二丿*皿广⑴例2/(X)在
4、［0,1］上连续，在(0,1)内可导，/(1)=0,证明：北w(0,l),使得刁©+2佗)=0分析：有导数，无端点信息，采用罗尔定理。待证结论为§厂(§)+2/(§)=0<=厂(§)+2公^=0,由积分法可得原函数§-dx°F(x)=eix/(x)=%7(x)证明：构造函数F(x)=x7W，vF(0)=F(1)=0.对F(x)在(0,1)上运用罗尔定理有€(0,1),使得F=0=>2匚f©+孑厂©=0・胃工0.需厂©+2/(§)=0①结论中有导数，有端点信息，且端点信息那部分往往可化成b-a分之某个东
5、西的形式，则采用拉格朗日定理来证明。例3设/?>。>0,于(兀)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，证明：至少日一点5),使得艸)-防(叽"(彗佗).ab(b-a)了分析：结论屮有导数，排除介值、零点定理，考虑微分屮值定理来证，结论屮有端点信息，排除罗尔定理，且结论中的左边可化成b-a分Z某个东西的形式，故确定采用拉格朗日来证明。妙的-妙3)=u~~b丁=m©ab(b-a)b-a孑证明：构造函数尸(0=竺，然后对这个函数在⑺上)上运用拉格朗口定理即可证明。②结论中有导数，有端点信息，且端点信息在某两个
6、函数中都有出现，且中值出现在两个函数中，考虑采用柯西中值定理。例4设于(对在［0,x］上连续，在(0,X)上可导，且/(0)=0,证明：在(0,x)内存在一点g,使得/ar(i+§)in(i+兀)八°分析：有导数，有端点信息，且端点信息在/(x),In(l+x)两个函数屮部有出现，故考虑采用柯西中值定理來证明。/Gr(l+01n(l+x)f(g)u需鲁=半证明：対函数/(x),ln(l+兀)在(0,x)上运用柯西中值定理即可。①结论中有导数，且包含两个中值，则需利用两次微分中值定理，运用两次微分中值定理分
7、为三种情况：两次拉格朗日或一次拉格朗日一次柯西或两次柯西1.题型一：结论中仅有厂(歹),广⑵)，其余都为常数方法：找三点，两次拉格朗日例5.f(x)在
8、0,1
9、±连续，在(0,1)内可导，f(0)=0J(l)=l,证明：112i)3c€(0,1),/(c)=-ii)北,〃w(0,1)使+=33厂©厂⑺分析：笫一问无导数，H中值落在开区间上，则采用零点定理证即可，笫二问结论中仅冇厂(C，广(〃)，其余都为常数,两次拉格朗日。证明：i)在(0,1)上对g(x)=f(x)~丄运用零点定理即可ii)找三点，三点即
10、为0,c,1对函数/(兀)在(0,c),(c,l)这两个区间上分别运用拉格朗H屮值定理，然后化简即可得到结论。2.题型二：结论中包含的表达式两者复杂度不一样方法：留复杂，先找复杂表达式的原函数例6门刃在[a,b]±连续，在@,方)内可导(g>0),证明：丸,“(a,b)使分析：包含的表达式两者复杂度不一样，留复杂，曙原函数为竿#故需采用一次柯西，运用一次柯西之后得出7—===(Q+〃)b2-a4'2r/b-a2可所以很明显在⑺
