2020版高考数学总复习教材高考审题答题（一）函数与导数热点问题课件文北师大版.pptx

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1、核心热点真题印证核心素养利用导数研究函数的性质2017·Ⅱ，21；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅲ，21；2018·Ⅱ，21数学运算、逻辑推理利用导数研究函数的零点2018·Ⅱ，21(2)；2018·江苏，19数学运算、直观想象导数在不等式中的应用2017·Ⅲ，21；2017·Ⅱ，21；2016·Ⅱ，20；2018·Ⅰ，21数学运算、逻辑推理教材链接高考——导数在不等式中的应用[教材探究](引自人教A版选修1－1P99习题3.3B组(3)(4)两个经典不等式)利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图像直观验证.(3)

2、ex>1＋x(x≠0)；(4)lnx0).[试题评析]1.问题源于求曲线y＝ex在(0，1)处的切线及曲线y＝lnx在(1，0)处的切线，通过观察函数图像间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)＝ex－x－1与g(x)＝x－lnx－1对以上结论进行证明.2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“lnx”替换“x”，立刻得到x>1＋lnx(x>0且x≠1)，进而得到一组重要的不等式链：ex>x＋1>x－1>lnx(x>0且x≠1).3.利用函数的图像(如图)，

3、不难验证上述不等式链成立.【教材拓展】试证明：ex－lnx>2.证明法一设f(x)＝ex－lnx(x>0)，所以φ(x)在(0，＋∞)单调递增，所以当x>x0时，f′(x)>0；当02.法二注意到ex≥1＋x(当且仅当x＝0时取等号)，x－1≥lnx(当且仅当x＝1时取等号)，∴ex＋x－1>1＋x＋lnx，故ex－lnx>2.【链接高考】(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨

4、论f(x)的单调性；(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0，教你如何审题——利用导数研究函数的零点【例题】(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f

5、(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.[审题路线][自主解答](1)证明当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln2.当x∈(0，ln2)时，g′(x)<0；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)>0.∴当x≥0时，g(x)≥g(ln2)＝2－2ln2>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.(2)解若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程ex－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，令φ′(x)

6、＝0，解得x＝2.当x∈(0，2)时，φ′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0.探究提高1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式：(1)求函数的零点、图像交点的个数；(2)根据函数的零点个数求参数的取值或范围.2.导数研究函数的零点常用方法：(1)研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求解零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数图像的交点，运用函数的图像性质求解.【尝试训练】已知三次函数f(x)＝x3＋bx2＋

7、cx＋d(a，b，c∈R)过点(3，0)，且函数f(x)在点(0，f(0))处的切线恰好是直线y＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝9x＋m－1，若函数y＝f(x)－g(x)在区间[－2，1]上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由已知条件得，所以f(x)＝x3－3x2.(2)由已知条件得，f(x)－g(x)＝x3－3x2－9x－m＋1在[－2，1]上有两个不同的零点，可转化为y＝m与y＝x3－3x2－9x＋1的图像有两个不同的交点；令h(x)＝x3－3x2－9x

8、＋1，h′(x)＝3x2－6x－9，x∈[－2，1]，令h′(x)>0得－2≤x＜－1；令h′(x)<0得－1＜x≤1.所以h(x)max＝h(－1)＝6，又f(－2)＝－1，f(1)＝－10，所以h(x)min＝－10.数形结合，可知要使y＝m与y＝x3－3x2－9x＋1的图像有两个不同的交点，则－1≤m＜6.故实