2020版高考数学总复习教材高考审题答题（一）函数与导数热点问题教案文（含解析）北师大版

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1、教材高考审题答题（一）函数与导数热点问题核心热点真题印证核心素养利用导数研究函数的性质2017·Ⅱ，21；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅲ，21；2018·Ⅱ，21数学运算、逻辑推理利用导数研究函数的零点2018·Ⅱ，21(2)；2018·江苏，19数学运算、直观想象导数在不等式中的应用2017·Ⅲ，21；2017·Ⅱ，21；2016·Ⅱ，20；2018·Ⅰ，21数学运算、逻辑推理教材链接高考——导数在不等式中的应用[教材探究](引自人教A版选修1－1P99习题3.3B组(3)(4)两个经典不等式)利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图像直观验证.(3)ex>1＋x

2、(x≠0)；(4)lnx0).[试题评析]　1.问题源于求曲线y＝ex在(0，1)处的切线及曲线y＝lnx在(1，0)处的切线，通过观察函数图像间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)＝ex－x－1与g(x)＝x－lnx－1对以上结论进行证明.2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“lnx”替换“x”，立刻得到x>1＋lnx(x>0且x≠1)，进而得到一组重要的不等式链：ex>x＋1>x－1>lnx(x>0且x≠1).3.利用函数的图像(如图)，不难验证上述不等式链成立.【教材拓展】试证明：ex－lnx>2

3、.证明　法一　设f(x)＝ex－lnx(x>0)，则f′(x)＝ex－，令φ(x)＝ex－，则φ′(x)＝ex＋>0在(0，＋∞)恒成立，所以φ(x)在(0，＋∞)单调递增，即f′(x)＝ex－在(0，＋∞)上是增函数，又f′(1)＝e－1>0，f′＝－2<0，∴f′(x)＝ex－在内有唯一的零点.不妨设f′(x0)＝0，则ex0＝，从而x0＝ln＝－lnx0，所以当x>x0时，f′(x)>0；当02，x0∈.故ex－lnx>2.

4、法二　注意到ex≥1＋x(当且仅当x＝0时取等号)，x－1≥lnx(当且仅当x＝1时取等号)，∴ex＋x－1>1＋x＋lnx，故ex－lnx>2.探究提高　1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点x0∈；(2)确定ex0＝，x0＝－lnx0的关系；(3)基本不等式的利用.2.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.【链接高考】(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋2ax＋2

5、a＋1＝.若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，若a<0时，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－，所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0，设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值

6、为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0，从而当a<0时，ln＋＋1≤0，故f(x)≤－－2.教你如何审题——利用导数研究函数的零点【例题】(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.[审题路线][自主解答](1)证明　当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln2.当x∈(0，ln2)时，g′(x)<0；当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)>0.∴当x≥0时，g(x)

7、≥g(ln2)＝2－2ln2>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.(2)解　若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程ex－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，由a＝，令φ(x)＝，x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝，令φ′(x)＝0，解得x＝2.当x∈(0，2)时，φ′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0.∴φ(x)min＝φ(2)＝.∴a＝.探究提高　1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式：(1)求函数的零点、图像交点的个数；(2)