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1、乐山师专学报1986年第2期己.门......司..,...⋯刁......‘口....州.⋯一一有限元法及其在数学物理中的应用何昆弟摘要,。,本文介绍了有限元方法的数学理论以及应用有限元方法的一般规律同时讨论了在。数学上用有限元方法求解偏微分方程及在物理学中求解的问题前言。,有限元方法是一种离散化的数值计算方法它是在4f)年代就已提出来直到60年代随着,。电子计算机的发展在解决工程力学问题中发展起来的目前有限元方法已成为求解偏微分。,、、。方程数值解的一个重要方法它的理论基础牢靠物理概念清楚解题效能高
2、适用性强,、、不但可以用来解决固体力学中的大部分问题而且已经渗透到流体力学热传导电磁场等’’’“。、‘“由冶,学科领域于它对于物理几何条件复杂的问题的特别有效性使它广泛应用,、、、、“。于工程技术领域如航空航天造船建筑机械等工程部门〔J有限元方法与最优化,。方法相结合为电子计算机辅助设计(CAD)开辟了广阔的前景:。,有限元方法的基础一是变分原理;二是剖分插值也就是说它是古典变分法(Ritz。ern一Galki方法)与分块多项式插值的结合产物这种结合不仅使有限元方法保持了原有变,,、分法的优点而且还兼有
3、差分方法的灵活性是古典变分法的革新和发展使古典变分法大。大向前推进了一步:;有限元方法的发展借助于两个重要的工具一是在理论推导中采用了矩阵方法二是在。、、。实际计算中采用了电子计算机有限元矩阵电子计算机是三位一体的、。本文只讨论有限元方法的理论基础解题的一般规律以及在数学物理方面的应用至于,。在工程技术方面的应用将另文专题讨论有限元方法的理论基础(一)变分原理1.泛函及其极值128。先考虑弹性地基梁的例子,设有一个放在弹性地基上的梁承受分qx,x=o布横向载荷()的作用一端()、。固结x二l)自由另一端
4、(问梁取怎样的挠度w(x)能使这个系统的总势能二取最小值?EJ,于是梁的弯曲设梁的弯曲刚度为二、应变能是’二E,‘一合(;(监羚)k,则地基中贮存的再设地基的刚度系数为二f:能量为,__,」’_1(Ttf=二一龟长一UXW乙Jo,q的势由于梁的挠度载荷能变为阁“’二一qwd二};因此系统的总势能为三者之和:12kw:一qwdl一以一}欲鲁,x=o加上边界条件在处一ddW一x。,这就是一个变分问题另外常见的最速降线问题及悬链线问题也属这一类“、.“.les/)es/了d了乎万‘‘几11卜.一-万丫、dXI
5、T一dX(最速降线问题)了ZgyM=y‘··{:一之(斋)“(悬链线题问)上述问题的一般提法是要找出函数y=w=w(,(或曲线)y(x)〔或x)〕使得由一巳知函F(x,y,y‘),y:=y(x,)及Z=y(xZ:数通过两定点y)所组成的积分=x,y,y,x.I(y)IF()d(11)“X‘。。,、二x,,:=1:为极大或极小这个积分I(y)是一个泛函其中yy()yy()称为强迫边界。。条件I(y)的极大或极小值称为极值或驻值2.泛函的变分设y二“”y二各y(幼,y卜-)y+6y,对某函数y(x)给以变分
6、即增量6函数从则相应地y)脚甘今I(y,.I(+乙y)不难证明129+“I+“么‘I(y=.+各y)I(了)晋(12)。,。__。,,faa_、fF~F且巾=,,.升甲各I飞!二竺‘各y+全专syldx(13),a,,Jyy“,。叫做泛函I(黔的一次变分简称变分利用分部积分公式可以使(1.3)式变为.。x一-一里。;d二+一乡分F一列‘,五ff里旦其乙耳、、6X2(。4)yl‘JI、aydx、刁y,,:Z,,.由强迫边界条件知y在两端(x及x)为已知即乙y在两端不能变化从而(14)式简化为”,一。yd·
7、卜l〔器告(翻)(1。5).3泛函的极值条件:泛函I(y)的极值条件为。各I=0(16).,由(15)式知有口Fd乡_。.~,F、。一二二一一二竺‘.二二,,=O(17)aydx、ay,I。uer称为El方程1.1),.由(式及5与l的可交换性知(16)式等价于。色F=0(18)4.多个独立变量的情形F=F(x,了;,y‘)=,2若(i1,,i,,,,·=F(X;;)‘X(‘=12⋯).I(了f)l;(19)由极值原理有。,aFOr=~夕.~曰‘如气尸各yi=0._a尸-yl1二l等价于·;、一乡日分F
8、一yFynU、一nl!(1.10)因此,F的极值问题转化为(等价于)解方程组(l.10)的问题。,’以上讨论了单重积分的泛函、三重(空间〔,。但不难推广到二重(面))积分的情形(二)几何剖分与分片插值工30。,这部分主要讨论平面区域的几何剖分和相应的分片插值方法对区域O进行剖分时基、、。本,单元可取为三角形四边形等插值函数可取为一次二次或高次多项式等其中以三角。形单元和相应的三顶点线性插值最简单1.几何剖分2。=。如图所示的平面区域9其边界
