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1、第1期混沌现象及其在物理中的应用混沌现象及其在物理中的应用张绪宽,王安珠(江汉大学应用物理系,湖北武汉430019)摘要:浅介混沌的概念,概述这一领域中近期的发展,并探讨其在物理中的几点应用,有助于实验演示非线性振荡中的分频与混沌现象。关键词:非线性;分岔;混沌;分形;奇怪吸引子中图分类号:O415.5文献标识码:A文章编号:1003-7551(2002)01-0041-041吸引子、随机性与混沌现象一个自然系统,一般是由许多变量所控制的,这些变量通常可以方便地构成一个“相空间”。系统的某一特定状态,在相空间中占据一个点。当系统随时间变化时,这些点便画出了一条线或一个面,我们称之为轨道。对
2、于某些自然系统,如有摩擦情况下的摆的运动,无论其初始状态如何,系统的轨道随时间的延续都会趋于一个固定点(图1a),此点称为不动点,是系统在时间趋于无穷时的解,它好象把所有不同初值下的轨道都吸引到这里一样,因此称这样的解为系统的吸引子。不过有的系统长期行为并不趋于一点,而是趋向一个周期运动,如有发条的钟摆,无论以什么初始值使其开始摆动,此系统的轨道都将趋于一个环(图1b),我们称此为极限环(Iimitcycle)。更为复杂的系统有可能由两个或多个频率决定的准周期运动,这样的系统在相空间中构成一个象面包圈一样的环面或高维环面(图1c)。虽然以上这些系统已经十分复杂,但它们的运动仍满足决定论的特
3、征,即两个靠得很近的轨道,将永远靠得很近。这种观点一直延续了两百年,直到1963年,麻省理工学院的气象学家E.N.lorenz,在研究天气的预测性时,从一个简化了的,只有三个变量决定的微分方程组中,得到了一个吸引子,其轨道在这个吸引子中完全表现为一种随机性!即无论初始时两个轨道相距多么近,在这种吸引子区域内,这两个轨道间的距离变得可大可小,完全是不可预测的。人们现在称这种吸引子为奇怪吸引子(strangeattractor)。随后,从60年代至今,人们在许多不同领域中都发现了各种确定性系统中内在的随机性。它们被广泛地称之为混沌现象。如在物理学中的湍流运动、激光混沌,化学中的BZ振荡,甚至在
4、经济学领域,人们也正在试图用混沌理论来解释证券市场的经济振荡现象。进入80年代后,由于计算机数值模拟的速度大大提高,对混沌现象的理论研究更取得了巨大的进展。下面从生态学中的Logistic方程谈起。图1吸引子、极限环与高维环面2时间离散的Logistic方程在时间连续的情况下,此方程写为:＊收稿日期:2001-11-2241广西物理第23卷第1期Vol.23No.12002GUANGXIWULIdn=K1n(N-n)-K2n(1)dt这里n为种群或繁殖细胞的密度,K1、K2分别为其相应的出生率和死亡率,N为此系统的环境容量(如细胞繁殖时培养基的大小)。简单地令r=K1N-K2,R=K1,方
5、程(1)变为dn=n(r-Rn)(2)dtr这便是一般教科书中常见的自然生长方程。由方程(2)可以解出其两个不动点:n1=0,n2=,由线性稳Rr定性分析可知,n1是不稳定的,n2是稳定的,即n0(初值)稍有一点偏离n=0点,系统就会向n2=进化。Rr当种群数量达到时,出生量等于死亡量,此时系统达到了一个生态平衡状态。当然,这个模型过于简单,R仅仅适用于那些低等生物物群,如细菌、酵母或浮游藻类。用于一般物种偏差还很大。然而在50年代,R.May把此方程推广到时间为不连续的(即离散的)情况时,却得到了意想不到的结果。现在考虑相隔固定时间(比如一年)、世代不重叠的种群数量的变化情况。这时离散的
6、Logistic方程化为:Nt+1=Nt(1+r-RNt)(3)Nt为第t年种群的数量。重新定义参数及变量,(3)式可化为:xt+1=λxt(1-xt)(4)这里选定控制参数λ在区间(0,4)上变动。而x0取在[0,1]区间上。此方程看似简单,然而许多著名的科学家象May、Ulam、Kac、Feigenbaum等均研究过此方程。它虽然只是一维的、单参数的迭代映象,但它却是非线性的,并且是耗散的方程。因此它的解存在吸引子等极复杂的特性。进一步分析可以看出,当λ在0到4中变动时,方程(4)的迭代结果会发生巨大的变化,在动力学系统中,系统的解依赖于参数的变化而发生变化的情况称为分岔(bifurc
7、atiens)。首先,λ在(0,1)区间上变动,这时无论xn的初值在[0,1]上取什么,经过多次迭代,xn都会迅速趋于0,0点即为此方程的不动点。迭代过程见图2(a)。此吸引子是由于映象的耗散性质使其相空间退化成一个点。由线性稳定性分析知,此点是稳定的,即对初始值的一个小的偏离,迭代后偏离变得更小了。但当λ越过1,处于1<λ<3时,见图2(b),计算表明此点仍为方程的一个不动点,但却是不稳定的不动点,而＊1稳定的不动点移
