构造法在数学竞赛中的应用.pdf

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1、2中等数学
数学活动课程讲座
构造法在数学竞赛中的应用朱华伟(广州大学计算机科学与教育软件学院,510006)中图分类号:O141.4文献标识码:A文章编号:1005-6416(2010)04-0002-05(本讲适合初中)a+A=b+B=c+C=k,可联想以k为边长解答数学问题时,常规的思考方法是由的正三角形.已知到结论的顺向思考,或由结论到已知的如图1,构造逆向思考.但无论是顺向思考还是逆向思考,以k为边长的正在解题思路上都不能保证一帆风顺,有时会PQR,分别在其遇到一些障碍.此时,同学们可以

2、通过构造适各边上取点L、M、当的辅助量(如图形、方程、等式、函数等)来N,使得帮助解决困难,使问题中原来隐晦不清的关QL=A,LR=a,系和性质在新的构造过程中清晰地展现出RM=B,MP=b,图1来,从而简捷地解决问题.PN=C,NQ=c.运用构造法解题,首先,要认真分析题由SLRM+SMPN+SNQL

3、原来的问题上.讲解2仍从几何图形的面积出发,将2k看作是边长为k的正方形的面积,将aB+1构造图形bC+cA看作边长分别为a与B、b与C、c与A对于代数问题,当用代数方法求解比较的三个小矩形面积之困难时,也可以从数形转化的角度出发,考虑和.于是,欲证结论成其几何意义,通过构造几何图形使题设条件立,只需将这三个小直观地反映出来,从而将代数问题转化为几矩形不重叠地嵌入到何问题求解.边长为k的正方形即例1已知正数a、b、c、A、B、C满足可.据此构造图2即a+A=b+B=c+C=k.图22得证.求证:aB+b

4、C+cA

5、,32又z&0,则z=0.22z+zx+x=16.2故t-2t+1=0.求xy+2yz+3zx的值.于是,x=y=1.讲解本题若按常规解三元二次方程因此,原方程组仅有一组实数解.组,先求出x、y、z的值,再求代数式的值,势!评注∀利用韦达定理的逆定理构造方必陷入繁琐的计算之中.程的关键是先根据题中提供的信息,从中变事实上,可将原方程组变形为换出x1+x2=A,x1x2=B,从而构造以x1、x222yy2为根的一元二次方程x2-Ax+B=0,再利用x+-2x#cos150∃=5,33方程的有关知识求解.一般地

6、,当题目的条件2y22中出现和与积的式子时,常利用根与系数的+z=3,3关系来构造方程.222z+x-2zxcos120∃=4.例4设abc是十进制中的质数.证明:2上述三式与余弦定理及勾股定理结构b-4ac不是完全平方数.相似,故可构造出证明采用反证法.图3,分别算出假设存在一个十进制的质数abc,使得2ABO、BCO、b-4ac为平方数.注意到求证结果的形式,CAO和ABC可考虑(辅助的)二次方程2的面积,即可求得f(x)=ax+bx+c=0.(xy+2yz+3zx图3已知条件意味着2=243.p=f

7、(10)=a)10+b)10+c=abc!评注∀当题目的条件中出现平方和或是一个质数.2平方差的形式时,可以考虑构造直角三角形;由于b-4ac是完全平方数,故方程(22当题目的条件中出现a+b%ab,可考虑构的两个根造两边为a和b、夹角为60∃或120∃的三-b%b2-4acx1,2=∗角形.2a均为有理数.于是,2构造方程2ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2).根据题设的特征,利用方程根的概念、根取x=10,得的判别式、根与系数的关系等构造方程,从而p=a(10-x1)(10-x2).+利用方程的知

8、识求解.由式∗可知2ax1、2ax2均是整数.x+y=2,将式+两边同乘以4a得例3方程组2有几组实数解?xy-z=14ap=(20a-2ax1)(20a-2ax2).,x+y=2,因p是质数,所以,式,右边的两个因子讲解由已知得2从而联想xy=z+1,中必有一个被p整除,不妨设20a-2ax1是p到韦达定理的逆定理,试用构造方程解决.的倍数.4中等数学注意到20a-2ax1−0,故

9、20a-2