构造法在数学竞赛中的应用1

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1、万方数据2中等数学O数学活动课程讲座O构造法在数学竞赛中的应用朱华伟(广州大学计算机科学与教育软件学院，510006)中图分类号：0141．4文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)04一O002，05(本讲适合初中)解答数学问题时，常规的思考方法是由已知到结论的顺向思考，或由结论到已知的逆向思考．但无论是顺向思考还是逆向思考，在解题思路上都不能保证一帆风顺，有时会遇到一些障碍．此时，同学们可以通过构造适当的辅助量(如图形、方程、等式、函数等)来帮助解决困难，使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新的构造过程中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题．。

2、运用构造法解题，首先，要认真分析题目，仔细观察，展开联想，从中发现可用构造法的因素；其次，借助于与之相关的知识构造所求问题的具体形式；最后，解出所构造的问题，但必须回到原来的问题上．1构造图形对于代数问题，当用代数方法求解比较困难时，也可以从数形转化的角度出发，考虑其几何意义，通过构造几何图形使题设条件直观地反映出来，从而将代数问题转化为几何问题求解．例1已知正数口、b、c,A、B、C满足口+A=b+B=c+C=k．求证：祖+6C+cA

3、—01一19．a+A=b+B=c+C=k，可联想以k为边长的正三角形．如图1，构造以k为边长的正△P衄，分别在其各边上取点￡、肘、Ⅳ，使得PQL=A，丛=口，QAL口R冗M=日，MP=6。图lPN=C，NQ=c．由s渊+s蜘PN+s刨QL‘s学QR《aB+譬6C+等D4<譬J}2：争口B+6C+cA

4、的条件中出现两个正数的积的形式时，可考虑构造矩形．2．在1989年第15届全俄数学奥林匹克中，又出现了一道与本例如出～辙的赛题(见例8)．万方数据2010年第4期3例2设正数x,y、z满足方程组f菇2+xy+予=25，l2{誓+，=9，lJ匕2+就+茁2=16．求xy+2yz+3zx的值．讲解本题若按常规解三元二次方程组，先求出x,y、z的值，再求代数式的值，势必陷入繁琐的计算之中．事实上，可将原方程组变形为菇2+㈥2也·考

5、：洲。o-s2，(考)2+阳2，，+矿一2zxcos1200=42．上述三式与余弦定理及勾股定理结构相似，故可构造出图3，分别算出△A

6、BO、△BCO、△翻0和△ABC的面积。即可求得xy+2弦+3搿：24压．CA5曰图3【评注】当题目的条件中出现平方和或平方差的形式时，可以考虑构造直角三角形；当题目的条件中出现口2+b2±ab，可考虑构造两边为口和b、夹角为600或1200的三角形．2构造方程根据题设的特征，利用方程根的概念、根的判别式、根与系数的关系等构造方程，从而利用方程的知识求解．例3方程组r+yi72‘．有几组实数解?例3方程组{。，!有几组实数解?txy—r21r茁+v=2．讲解由已知得{。：：从而联想txy2二。+l·到韦达定理的逆定理，试用构造方程解决．由韦达定理的逆定理知x

7、．y是方程t2—2t+(≯+1)=O的两个实根，则A=(一2)2—4(z2+1)≥0j≯≤0．又Z．2≥0，则z=O．故t2—2t+1=0．于是。戈=Y=1．因此，原方程组仅有一组实数解．【评注】利用韦达定理的逆定理构造方程的关键是先根据题中提供的信息，从中变换出髫l+鬈2=A，XlX2=B，从而构造以菇l、算2为根的一元二次方程石2一Ax+B=0，再利用方程的有关知识求解．一般地，当题目的条件中出现和与积的式子时，常利用根与系数的关系来构造方程．例4设abe是十进制中的质数．证明：b2—4ac不是完全平方数．证明采用反证法．假设存在一个十进制的质数abe，

8、使得b2—4ae为平方数．注意到求证结果的形式，可考虑(辅助的)二次方程火石)=似2+如+c=0．①已知条件意味着P=八10)=口×102+b×10+C=abe是一个质数．由于b2—4ac是完全平方数，故方程①的两个根．算l：—-—b±_v-"bZ一-4ac2②41．一’n剖均为有理数．于是，ax2+h+c=a(x一省1)(茹一茗2)．取菇=10，得P=a(10一髫1)(10一茗2)．(爹由式②可知2ax。、2ax：均是整数．将式③两边同乘以4口得4ap=(20a一2axl)(20a一2ax2)．④因P是质数，所以，式④右边的两个因子中必有一个被P整除，不妨

9、设20a一2凹，是p的倍数．万方数据4中等数学注意到