构造法在数学竞赛中的应用

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1、2中等数学。数学活动课程讲座。构造法在数学竞赛中的应用朱华伟(广州大学计算机科学与教育软件学院，510006)中图分类号：01414文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)04—0002～05(本讲适合初中)a+A=6+B=C+C=，可联想以后为边长解答数学问题时，常规的思考方法是由的正三角形．已知到结论的顺向思考，或由结论到已知的如图1，构造P逆向思考．但无论是顺向思考还是逆向思考，以后为边长的正在解题思路上都不能保证一帆风顺，有时会△PQR，分别在其遇到一些障碍．此时，同学们可以通过构造适各边上取点、、当的辅助量(如图形、方程、等式、函数

2、等)来Ⅳ，使得帮助解决困难，使问题中原来隐晦不清的关QL=，=。，QAⅡR系和性质在新的构造过程中清晰地展现出RM：，=b，图1来，从而简捷地解决问题．PN=C．NQ=c．运用构造法解题，首先，要认真分析题电sM+sPN+sQL

3、用代数方法求解比较的三个小矩形面积之困难时，也可以从数形转化的角度出发，考虑和．于是，欲证结论成其几何意义，通过构造几何图形使题设条件立，只需将这三个小直观地反映出来，从而将代数问题转化为几矩形不重叠地嵌入到何问题求解．边长为的正方形即例1已知正数a、b、c-,A、B、C满足可．据此构造图2即a+A=b+B=C+C=后得证。图2求证：aB+6C+cA<．【评注】1．当题目的条件中出现两个正(第21届全苏数学奥林匹克)数的积的形式时，可考虑构造矩形．讲解1两个正数的乘积的最简单的几2．在1989年第15届全俄数学奥林匹克何意义可以看作是一个几何图形的面积，又

4、中，又出现了一道与本例如出一辙的赛题收稿日期：2010一O1—19(见例8)．2010年第4期3例2设正数x,y、满足方程组由韦达定理的逆定理知x,y是方程t。f++等=25，一2t+(z+1)=0的两个实根，则i，△：(～2)一4(z+1)≥0j。≤0．9，又≥O，则=0．L++=l6。故t一2t+l=0。求+2yz+3zx的值．于是，=Y=1．讲解本题若按常规解三元二次方程因此，原方程组仅有一组实数解．组，先求出、y,z的值，再求代数式的值，势【评注】利用韦达定理的逆定理构造方必陷入繁琐的计算之中．程的关键是先根据题中提供的信息，从中变事实上，可将原方

5、程组变形为换出l+2=A，X12=B，从而构造以1、222+·老coso=s，为根的一元二次方程一Ax+B=0，再利用方程的有关知识求解．一般地，当题目的条件中出现和与积的式子时，常利用根与系数的，关系来构造方程．z+一22cos120。=4．例4设abc是十进制中的质数．证明：上述三式与余弦定理及勾股定理结构b一4ac不是完全平方数．相似，故可构造出C证明采用反证法。图3，分别算出假设存在一十进制的质数abc，使得ABOBCOb一4ac为平方数．注意到求证结果的形式，△CAO和△ABC可考虑(辅助的)二次方程的面积，即可求得5)=ax+6+c=0．(xy

6、+2yz+3zx图3已知条件意味着：24．P=10)=a×10+b×10+c=abc【评注】当题目的条件中出现平方和或是一个质数．平方差的形式时，可以考虑构造直角三角形；由于b一4ac是完全平方数，故方程①当题臣的条件中出现a+b±ab，可考虑构的两个根造两边为口和b、夹角为6O。或120。的三：：生②角形．1，2一2口均为有理数．于是，2构造方程ax2+bx+c=a(一1)(一2)．根据题设的特征，利用方程根的概念、根取=10，得的判别式、根与系数的关系等构造方程，从而P=a(10一)(10一2)．③利用方程的知识求解．由式②可知2ax、2ax均是整数．

7、例3方程组{r+=Z．有几组实数解?将式③两边同乘以4口得[xy—zl4ap=(20a一2ax1)(20a一2ax2)．④r+v=2因P是质数，所以，式④右边的两个因子讲解由已知得{，从而联想txy。+1．中必有一个被p整除，不妨设20a一2ax。是P到韦达定理的逆定理，试用构造方程解决．的倍数。4中等数学注意到20a一2ax1≠0，故120a一2axlI≥p．4构造函数结合式④导出I20a一2ax2I≤40．⑤有些问题，可以从中找出作为自变量的但由式②易知：≤0．因素或可以表示成某一变量的函数，此时，就从而，式⑤不可能成立，矛盾．可以构造一个函数并利用所

8、作函数的性质求【评注】当题目条件中出现形如b一4ac解．当题目的条