三割线定理的若干应用

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1、2010年第10期中学数学研究43三割线定理的若干应用辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校(114300)侯明辉文[1]给出并证明了由笔者发现并命名的三割线定理．本文论述三割线定理在平面几何解证题中引理如图4，过o0外的若干应用，以飨读者．一点P，任作两条割线PAB和1三割线定理及其逆定理PCD，分别交o0于点A、、JD三割线定理如图1，过c、D，弦AD和BC相交于点o0外的点P引o0的两条割线Q，则点Q在自点P向o0所PAB和PCD，分别交o0于点A、引的切线的切点弦上．注：文B、C、D，弦AD和BC相交于点Q，[2]已经证明了这个引理，本割线PEF经过点Q

2、交o0于点文例4的证法实际上是它的E、F，则1／PE+1／PF=一种最简单的方法．2／PQ．(为了节省篇幅，其证明略定理1如图5，过o0，去)外的点P引o0的两条割线若将两条割线(PAB、PCD)图1PAB和PEF，分别交o0于点P变为两条切线(PA、PB，A、B是切点)，则此结论仍然A、B、E、F，点Q在弦F上，且成立，于是得到三割线定理的一个推论及这个推论满足1／朋+1／PF=2／PQ，弦AD和EF相交于点Q，PD图5的逆定理．推论如图2，过o0外交o0于点C，则B、Q、C三点共线．的点P引o0的两条切线证明：连接BC交AD于点Q，则由引理，知点Q和P

3、，A、日是切点，割线朋F在自点P向o0所引的切线的切点弦上．因为交o0于点E、F，交AB于点1／PE+1／PF=2／PQ，由三割线定理推论的逆定Q，则1／PE+1／PF=2／PQ．理，知点Q在自点P向o0所引的切线的切点弦上，注：这个推论实际上是图2即点Q与Q重合，亦即B、Q、C三点共线．2OO1年TI杯全国初中数学竞定理2如图6，过o0赛试题，为了节省篇幅，其证外的点P引o0的两条割线明略去．PAB和PEF，分别交o0于推论的逆定理如图3，点A、B、E、F，点Q在弦F上，过oD外的点P引oo的割且满足1／PE+1／PF=图6线PEF，交o0于点E、F，点

4、2／PQ，弦BC和AD相交于点Q在弦EF上，若1／PE+1／PF图3Q，则P、C、D三点共线．=2／PQ，则点Q在自点P向证明：连接PD交o0于点C，连接BC交ADo0所引的切线的切点弦上．于点Q，则由引理，知点Q在自点P向o0所引的证明：过点P作o0的切线PA、PB，A、B是切切线的切点弦上．因为1／PE+1／PF=2／PQ，由三点，连接AB交EF于点Q，则由三割线定理的推论，割线定理推论的逆定理，知点Q在自点P向o0所得1／PE+1／PF=2／PQ．因为1／PE+1／PF=引的切线的切点弦上，从而点Q与Q重合，于是点2／PQ，所以PQ=PQ，从而点Q与

5、Q重合，于是点C与C重合．故P、c、D三点共线．Q在自点P向o0所引的切线的切点弦(AB)上．2应用举例三割线定理的逆定理三割线定理的逆定理运用三割线定理解证一些平面几何题，可起到包括定理1和定理2．为了其证明的方便起见，下面化繁为简、化难为易的作用，而且其应用十分广泛．介绍一个引理．2．1解计算题中学数学研究2010年第10期例1如图7，PA、PC是o0的两条切线，A、C：bb，于是Pc．PD—Qc．口+0+⋯一是切点，割线PEF交O0于点E、F，交AC于点Q，若PE=2，FQ=1，求QE的长．一b·b=(b)：0+n+n+解：设QE=，贝0由PEPQ．

6、=2和FQ=1，得尸()=+注：这是2009年全国高中数学联赛陕西赛区预2，PF=+3．因PA、PC分别赛试题，其证法比较多，本证法具有简捷明快的代数切o0于点A、C，故由三割线风味，又不用添加辅助线．定理的推论，得1／PE+1／PF2．3证明共线点问题_2／即+：例4如图10，从o0外2一点P引o0的两条切线，亦即2+3一2=0．解之，得=、、PB，切点为A、曰，再从点P引oO的两条割线PCD、(舍去负故Q⋯华．PEF，与o0交于点C、D、E、注：这是1997年中国理科试验班招生试题，此F，弦CF、DE交于点G．求证：图1O法最简单，又不用添加辅助线．A

7、、G、B三点共线．侈02如图8，过o0外D证明：经过点G作o0的割线PMH，交o0于点的一点P引o0的两条割线、，则由三割线定理，得1／PM+1／PH=2／PG．FPAB、PCD，分别交o0于点A因此，由三割线定理推论的逆定理，知点G在自点P和B、C和D，弦AD、BC交于点向o0所引的切线的切点弦上．因PA、船分别切Q，PQ交o0于点E．如果PEPo0于点A、B，故A、G、B三点共线．：12／5，C)O的半径是3，点0、注：这是文[3]中的例8，其证法较多，以此法为P的距离是5，求pE的长．图8妙．解：过点P作PT切o02．4证明线段比例式(或等积式)问题

8、于点，连接OP、OT，则OP=5，OT=3，PT上OT．例5如图1