切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解

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1、切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解南江石2018年4月7日星期六圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。弦是割线的部分线段。公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。几何原理几何原理共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线共切线平分公切线4切线长度相等——3切线长度相等——4切点共圆，圆心在3切

2、点共圆，圆心在两线交点两线交点共割线上任意一点到共切线上任意一点到圆的4个切线的长度圆的3个切线的长度相等，4切点共圆相等，3切点共圆圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。点对圆的幂22P点对圆O的幂定义为OPRBCEmAmPARBEOnPFCORnFTDD性质1点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P

3、对圆O的幂为0。切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。PAPTPT2PAPB222PTPmAmPTPB割线定理（切割线定理的推论）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。2222PAPBPCPDPmAmPnCn相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。2222PAPBPCPDAmPmCnPn垂径定理（相交弦定理推论）如果弦与直径垂直

4、相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。PAPCPC2PAPB222PCROPPCPBP点在圆外，切割线定理、割线定理2222222PTPAPBPCPDOPRPmAmPnCnP点在圆内，相交弦定理、垂径定理222222PAPBPCPDROPAmPmCnPn222PCPAPBROP2题目1．圆定点割线2等分题目2．弧定点割线2等分题目3．切线长角度割线弦长题目4．直角三角形（BD-132）题目5．直角

5、三角形（AE-321）题目6．大圆过两小圆直径线与90度题目7．大圆过两小圆直径线与28题目8．大圆过两小圆直径线圆心在右圆上【解法1】圆幂法22222222OPRPAPBOPR2dd2ddOPR222以OP为直径作圆，以R半径作圆，得到OPR22222以OPR为腰作等腰直角三角形，得到高dOPR23427.632122.78541.627.73222850770R169O09°O0P°RPOP2O24-R2P2-R2°°0099题目1【解法1】题目2【解法1】【解法2】切割线法12222

6、PTPAPBPT2dd2ddPT2作圆切线OT2以OT为腰作等腰直角三角形，得到高dOT24271.63222.785412732.685.722O990P0P°16°70O90°90°TT题目1【解法2】题目2【解法2】【解法3】切割线法222222222PTPAPBPmAmPmPTAmPmPTAmT00100136°0mR3PAB题目3【解法3】题解1题目3【解法3】题解2【解法4】相似三角形法圆幂定理实质是相似三角形。qAPqPAd111q为OP中点qAOBROBOP

7、PB2d22241427B85.732B22.6174A85.732AR3570.62R222R1OPP16q70qO题目1【解法4】题目2【解法4】题目4分析T以BT为直径作圆O，直角三角形边高问题，转换为切割线问题，适用切割线公式求解，O适用【解法3】求解。m222PPTPmAmBA222PmPTAm题目4【解法3】题目5【解法3】题目6、7、8分析1．两小圆直径延伸相交于一点3．共割线上任意一点到圆切线的长度相2．自交点作大圆两切线，同点作同圆的等，6切点共圆切线长度相等9°00°929.849629

8、.84964．根据阿波罗尼斯圆定理，两小圆直径5．小圆的直径是大圆的弦，大小圆连心的交点-到3圆切线相等的点在过两小圆公切线是弦的垂直平分线线中点且垂直于连心线的直线上599°°0000°°996．对角互补的四边形，四边形的四点共圆7．直角所对的弦为圆的直径1.350000008．圆直径相互平分，所以四边形上下两点到竖向直径的距离相等9．垂直于弦的直径平分弦