高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）课件新人教A版必修.ppt

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1、第一章　三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）1．了解周期函数与最小正周期的意义．(难点、易错点)2．了解三角函数的周期性和奇偶性．(重点)3．会求函数的周期和判断三角函数的奇偶性．(重点)1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)

2、＝f(x)最小的正数2．正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期_______________________________________奇偶性_____________________奇函数偶函数2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)想一想由于sin(30°＋120°)＝sin30°，则120°是函数y＝sinx的一个周期吗？提示：不是．因为对于函数y＝f(x)，使f(x＋T)＝f(x)成立的x必须取定义域内的每一个值才可以，即x的任意性．1．对周期函数的正确理解(1)关于函数周期的理解应注意以下三点

3、：①存在一个不等于零的常数T；②对于定义域内的每一个值x，都有x＋T属于这个定义域；③满足f(x＋T)＝f(x)．(2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(3)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用．求下列函数的最小正周期：求三角函数的周

4、期问题求三角函数周期的三种方法【互动探究】本题(2)中函数改为y＝cos

5、x

6、，则其周期又是什么？解：由诱导公式得y＝cos

7、x

8、＝cosx.所以其周期T＝2π.判断下列函数的奇偶性．三角函数奇偶性的判断判断函数奇偶性应把握好的两个方面(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．1．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝xcos(π＋x)；(2)f(x)＝sin(cosx)．解：(1)函数f(x)的定义域为R，∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－

9、x·cosx，∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(2)函数f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．三角函数奇偶性与周期性的简单综合三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(

10、Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)．易错误区系列(五)对周期函数定义理解不到位致误【纠错提升】利用定义判断周期函数(1)要判断一个函数为周期函数，一要看定义域，即对任意x∈I，有x＋T∈I；二是对任意x∈I，有f(x)＝f(x＋T)．要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的函数，只要举一反例即可．(2)求三角函数周期之前，要尽量将函数化为同名同角三角函数，且函数的最高次数为1.【即时演练】若f(x＋1)＝－f(x)，试判断函数f(x)是否是周期函数．解：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1

11、)＝f(x)．∴f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．