高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）教案 新人教a版必修4

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1、课题1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质教学目标知识与技能了解周期函数、周期、最小正周期的定义．过程与方法会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期情感态度价值观掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．重点判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”难点会判断简单三角函数的奇偶性教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一　周期函数的定义一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的

2、周期．(1)证明函数y＝sinx和y＝cosx都是周期函数．(2)满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．(1)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的最小正周期都是，它们的所有周期可以表示为：．(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期．请你写出符合上

3、述特征的一个周期函数：.教学内容教学环节与活动设计(3)证明函数的最小正周期常用反证法．下面是利用反证法证明2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期的过程．请你补充完整．证明：由于2π是y＝sinx的一个周期，设T也是正弦函数y＝sinx的一个周期，且，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有.令x＝，代入上式，得sin＝sin＝1，又sin＝，所以.另一方面，当T∈(0,2π)时，，这与矛盾．故2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期．同理可证，余弦函数y＝cosx的最小正周期也是2π.探究点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))

4、(Aω≠0)的周期证明是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期．探究点四　正、余弦函数的奇偶性从函数图象看，正弦函数y＝sinx的图象关于对称，余弦函数y＝cosx的图象关于对称；从诱导公式看，sin(－x)＝，cos(－x)＝均对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的函数，余弦函数是R上的函数．【典型例题】例1　求下列函数的周期．(1)y＝sin(x∈R)；(2)y＝cos(1－πx)(x∈R)；(3)y＝

5、sinx

6、(x∈R)．教学设计教学内容教学环节与活动设计小结　对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0时

7、的周期求法常直接利用T＝来求解，对于y＝

8、Asinωx

9、的周期情况常结合图象法来求解．例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．小结　解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．例3　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝.小结　判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之

10、间的关系．教学小结1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝

11、sinx

12、.(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.课后反思