考研数学辅导讲稿之定积分例题资料版.pdf

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1、2012考研数学之定积分一．定积分的定义和性质1．定积分表示曲边梯形的面积12例1（1）．000101（1）∫2x−xdx=0a22例1（2）．∫()x−−=aaxdx−a例2．已知f(x)在[a,b]上是连续的递增函数，求证存在ξ∈[a,b]，使得b∫f(x)dx=f(a)(ξ−a)+f(b)(b−ξ)．a【真题】◇090103（090206，090304）∕◇080202∕◇070103∕◇970202（2）2．定积分是一个常数212例3．设f(x)=x−x∫f(x)dx+2∫f(x)dx，求f(x)．0022例4．（02

2、0406）设D是闭区域：x+y≤y，x≥0。f(x,y)在D上连续，而且()228∫∫fx,y=1−x−y−f(u,v)dudv，求f(x,y)．πD【真题】◇080318∕◇890101（2）∕◇990302（2）∕【参考题】22◇已知f′(x)⋅∫f(x)dx=50，且f(0)=0，求∫f(x)dx以及f(x)．002解：∫f(x)dx=±10，f(x)=±5x．012012考研数学之定积分3．积分不等式和估值定理当f(x)≤g(x)，且a

3、≤∫af(x)dx；bm(b−a)≤∫f(x)dx≤M(b−a)，其中m=minf(x)，M=maxf(x)．aa≤x≤ba≤x≤b1−22例5．求证2e4≤ex−xdx≤2e2．∫0nn例6．990210设f(x)是[0,+∞)单调减少且非负的连续函数，设a=f(k)−f(x)dxn∑∫1k=1（n=1,2,?）。求证数列{}a收敛．n【真题】◇110204（110304，110206）◇100117（100216，100318）2222222◇050308设I=cosx+ydσ，I=cos(x+y)dσ，I=cos(x+y

4、)dσ，1∫∫2∫∫3∫∫DDD22其中D={(x,y)x+y≤1}，则[]A、I>I>I；B、I>I>I；321123C、I>I>I；D、I>I>I．213312◇030202（5）∕◇000206∕◇9901092bb例7．设f(x)在[]a,b连续，证明⎛f(x)dx⎞⎟≤(b−a)f2(x)dx。⎜∫∫⎝a⎠a2bbb【注】柯西施瓦茨不等式：⎛f(x)g(x)dx⎞⎟≤f2(x)dx⋅g2(x)dx⎜∫a∫a∫a⎝⎠22012考研数学之定积分【参考题】◇设函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）可导，f(0)=0，

5、0≤f′(x)≤1，求证211⎛⎞⎜⎟3⎜∫f(x)dx⎟≥∫f(x)dx．⎝0⎠0ba+b例8．设f′′(x)在[]a,b连续，f′′(x)≤0，求证：∫f(x)dx≤(b−a)f()．a2【真题】◇050319∕◇930208∕4．积分中值定理如果f(x)在[]a,b上连续，则在开区间(,)ab内至少存在一个点ξ，使得b∫f()xdxf=()(ξba−)．a积分等式或不等式的证明经常使用积分中值定理，尤其当表达式中出现积分区间的长度（b-a）的倍数时。例9．940207设f(x)在[0，1]上连续递减，求证：当0<λ<1时

6、，λ1∫∫f(x)dx≥λf(x)dx。00【真题】◇100319∕◇080220∕◇970407∕【参考题】11．设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）可导，f(0)=0，f(1)=1，∫f(x)dx=2．证明0至少存在一点c∈(0,1)，使得f′(c)=0。32012考研数学之定积分二．变限函数和牛顿—莱布尼兹公式1．变限函数的导数变限函数的导数应遵循以下基本公式：x①若f(x)在[]a,b连续，F(x)=∫f(t)dt，x∈[a,b]，则F′(x)=f(x);aϕ(x)②若f(x)连续，ϕ(x)可导，F(x)=∫f(

7、t)dt，则F′(x)=f(ϕ(x))ϕ′(x);aϕ(x)③若f(x)连续，ϕ(x)、ψ(x)可导，F(x)=∫f(t)dt，则ψ(x)F′(x)=f(ϕ(x))ϕ′(x)−f(ψ(x))ψ′(x)．【真题】2xysint∂F◇110111设函数Fxy(,)=dt，则=。∫01+t2∂x2x=0y=0◇110215x+y◇050109设函数u(x,y)=ϕ(x+y)+ϕ(x−y)+∫ψ(t)dt，其中函数ϕ具有二阶导数，ψx−y具有一阶导数，则必有[]2222∂u∂u∂u∂uA、=−；B、=；2222∂x∂y∂x∂y2222

8、∂u∂u∂u∂uC、=；D、=．22∂x∂y∂y∂x∂y∂x◇080101，080301∕◇880101（2）∕◇910102（2）∕◇900102（1）∕◇930102（1）∕◇950204∕◇980204∕◇990202（2）∕◇010206∕5*◇010408设f(x)