考研数学辅导讲稿之极限例题资料版.pdf

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1、2012考研数学之极限与微分一、极限的计算方法1．等价无穷小代换若在某变化过程下，α(x)~β(x)，则limf(x)α(x)=limf(x)β(x).12x当x→0时，有sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1−cosx~x，e−1~x，2xnxαa−1~xlna，ln(1+x)~x，1+x−1~，(1+βx)−1~αβx．n以上的等价无穷小中的x可以用相同形式的无穷小代替。如当x→0时，有1121cos~()−=xxx222nn例1．010202（2）设当x→0时，(1−cosx)ln(1+x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx2x是比

2、e−1高阶的无穷小，则正整数n=。A．1；B．2；C．3；D．4；x12c⎡⎛⎞+osx⎤例2．040215（本题满分10分）求极限lim⎢⎜⎟−1⎥．3x→0x⎢⎣⎝⎠3⎥⎦+例3．070101当x→0时，与x等价的无穷小量是【】x1+x(A)1−e．(B)ln．(C)11+x−．(D)1cos−x．1−x【真题】090215∕080115（080215）∕090309∕080209∕080315（080415）∕060101（1）∕050301∕040315∕030201（1）∕030203∕030303∕990101（1）∕000201（1）∕010202（2）∕020

3、201（1）∕970101（1）∕020303∕910203（3）∕920201（3）、920103∕【注1】被替换的无穷小与表达式的剩余部分应是乘积关系，可讨论：tanx−sinx1lim=．3x→0x22．恒等变形法1）提取非零因子法12012考研数学之极限与微分若limf(x)=A≠0，则limf(x)g(x)=Alimg(x)．2）有理化法当分子或分母含有根号时，有理化法是经常使用的方法。3）通分法4）分离无穷小法5）倒代换法2例4．050205若当x→0时，α(x)=kx与β(x)=1+xarcsinx−cosx是等价无穷小，则k=22例5（1）．计算lim(x+x

4、+1−x−x+1)x→+∞⎛11⎞1例5（2）．990101（1）lim⎜−⎟=.2x→0⎝xxtanx⎠333例5（3）．确定常数λ和μ，使得lim(1−x−λx−μ)=0．x→∞【真题】12sin+x−−x1◇110315求极限（满分10分）limx→0xxln(1+)⎡⎤11⎛⎞x◇100301若lim⎢⎥−⎜⎟−=ae1，则a=2．x→0⎣⎦xx⎝⎠◇060315∕990203．∕010201（1）∕930203（2）∕920103∕950203（1）3．洛必达法则0∞洛必达法则解决的未定式的基本形式是x→a（x→∞）时的和，其他的未定式诸0∞∞00如1，∞，0，0⋅

5、∞，∞−∞等可以通过取对数、通分、有理化等方法变形为以上两种基本形式。洛必达法则在一个题目中往往多次使用。22012考研数学之极限与微分2x∫f(t)dt0例6．设f′(x)连续，f(0)=0，f′(0)≠0，求lim．xx→02x∫f(t)dt0【真题】050215（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)≠0，求极限x∫(x−t)f(t)dt0lim.xx→0x∫f(x−t)dt0【参考题】n⎡⎛1⎞⎤⎢f⎜a+⎟⎥2f′(a)⎢⎝n⎠⎥f(a)设f(a)≠0，f′(a)存在，n是自然数，计算lim．（答：e）．n→∞⎢⎛1⎞⎥f⎜a−⎟⎢⎣⎝n⎠⎥⎦sinx关于两

6、个重要极限的使用一定要注意它们的标准形式，比如lim=0不等于1；x→∞x1()3lim1+3xx=e而不等于e。第二个重要极限的类型十分重要。x→0πtanx例7．计算lim(2−x)2．x→1∞解：本例涉及到1的求法，有2种方法可以使用：①化幂指函数为指数函数；②取对数法．x①化幂指函数为指数函数（记ex=exp()）．ππsinxx⋅−ln(2)原式=⋅explimtanxln(2−x)==explim2explimln(2−x)x→12xx→→11ππcosxcosx220（①改0⋅∞为；②变正切函数为正余弦函数的商为常用手法）012=explim=exp（洛比达法则

7、）．x→1πππ(2−x)sinx2232012考研数学之极限与微分②取对数法．πtanx设y=(2−x)2，两端同时取对数，得ππlny=tanx⋅ln(2−x)，⇒limlny=ln(limy)=limtanx⋅ln(2−x)=……2x→1x→1x→122⇒limy=exp．x→1π【真题】1⎡⎤ln(1+x)ex−11◇110115（满分10分）求lim⎢⎥=x→0⎣⎦xe1xx⎛⎞12+◇110209lim⎜⎟=2x→0⎝⎠2x2⎡⎤xab−◇100101求lim⎢⎥=ex→∞⎣⎦()xaxb−