考研数学极限讲义(卓越资料)

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1、卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编§1．2极限A基本内容一、极限的概念与基本性质1、极限的定义(1)数列极限:,当时.任给，存在正整数，当时，就有。(2)函数极限:①任给，存在正数，当时，就有②（用表示在的右极限值）任给，存在正数，当时，就有③（用表示在的左极限值）任给，存在正数，当时，就有其中称为在处右极限值，称为在处左极限值。注：函数极限存在的充要条件：。④任给，存在正数，当时，就有⑤任给，存在正整，当时，就有⑥任给，存在正数，当时，就有注：2、极限的基本性质(1)(唯一性)设，，则(2)（不等式性质）设，若变化一定以后，总有，则反之，，

2、则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）(3)（局部有界性）设则当变化一定以后，是有界的。二、极限的四则运算及幂指运算(1)四则运算设，则（1）（2）（3）（4）注：(1)存在，(2)（2）幂指函数的极限设，则三、极限存在准则1、夹逼准则若存在，当时，，且则1、单调有界准则单调有界数列必有极限。四、两个重要极限公式(1)(2)五、无穷小与无穷大1、无穷小、无穷大的定义若，则称为无穷小，则称为无穷大。注：(1)无穷小、无穷大与的变化过程有关，，当时，为无穷小，而或其它时，不是无穷小(2)无穷大与无界的关系：无穷大量无界变量，反之不成立。2、无穷小与无穷

3、大的关系在的同一个变化过程中若为无穷大，则为无穷小，若为无穷小，且，则为无穷大3、无穷小与极限的关系其中4、无穷小的比较设，，且（1），称是比高阶的无穷小，记以(2),称是比低阶的无穷小。（3），称与是同阶无穷小。（4），称与是等价无穷小，记以(5)无穷小的阶：若，称是的阶无穷小。5、常见的等价无穷小当时，，，，，，6．无穷小的重要性质（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.B典型例题一、求极限：1通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1、求下列极限（1）(2)例2、设，求例3、求例4、设，，当解：

4、例5当时，函数的极限（）（A）等于2.（B）等于0.（C）为（D）不存在但不为2、用两个重要公式例1、求例2、求解一：原式解二：原式例3、求例4、求下列极限（1）（2）（3）（4）例5、求下列极限(1)（2）(3)（4）3、用夹逼定理求极限例1、例2、4、利用单调有界原理例1、设求极限.例1、证明数列的极限存在。5、利用等价无穷小代换例1、例2、求.6、求分段函数的极限例（1）（2）二、无穷小量阶的比较例1、当的（A）低阶无穷小。（B）高阶无穷小。（C）等价无穷小。（D）同阶但非等价无穷小。例2、若是等价无穷小，则