考研数学连续讲义(卓越资料)

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1、卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编§1.3连续A基本内容一．函数连续的概念1、连续的定义定义(1)：设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量趋近于时，相应的函数改变量也趋近于，即或则称函数在点处连续。定义(2)：设函数在点的某个领域内有定义，如果当时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即则称函数在点处连续。2、左右连续的定义如果，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。由上述定义2可知，如果函数在点处连续，则在处既左连续也右连续。3、函数在区间内（上）连续的定义如果函数在开区间内的每一点都

2、连续，则称在内连续。如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类1、函数的间断点的定义如果函数在点不连续，则称为的间断点。2、函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设是函数的间断点。如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如．是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。三

3、、初等函数的连续性1．在区间连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间仍是连续的。2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3．在区间连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。5．初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质定理1．（有界定理）如果函数在闭区间上连续，则必在上有界。定理2．（最大值和最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理3．（介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为

4、和，则对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得推论：如果函数在闭区间上连续，且与异号，则在内至少存在一个点，使得这个推论也称为零点定理思考题：什么情况下能保证推论中的是唯一的？B典型例题一、讨论函数的连续性例1、讨论函数在点处的连续性。解：因即有，故在点连续。例2、讨论函数，在点的连续性。例3．设在内连续求常数和解：，，由的连续性可知得由的连续性可知得所以二、判断函数间断点的类型例1、求函数的间断点，并确定其类型例2．求函数的间断点，并确定其类型。例3．求函数的间断点，并确定其类型。三．利用介值定理的推论判断以及用零点定理

5、证明方程根的存在性例1、证明五次代数方程在区间内至少有一个根。例2设在上连续,.试证对任意的正数,至少存在一个,使.