考研数学微分中值讲义(卓越资料)

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1、卓越考研卓而优越则成卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编5卓越考研卓而优越则成第三章微分中值定理与导数的应用§3.1微分中值定理A基本内容一、罗尔定理设函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）则存在，使得几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等。结论说明曲线在点和点之间[不包括点和点]至少有一点，它的切线平行于轴。二、拉格朗日中值定理设函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；5卓越考研卓而优越则成则存在，使得或

2、写成有时也写成这里相当或都可以，可正可负。几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间是连续曲线；条件（2）说明曲线是光滑曲线。结论说明曲线在之间至少有一点，它的切线与割线是平行的。推论1．若在内可导，且，则在内为常数。推论2．若，在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数。三、柯西中值定理设函数和满足：（1）在闭区间上皆连续；（2）在开区间内皆可导；且则存在使得5卓越考研卓而优越则成几何意义：考虑曲线的参数方程点，点曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗

3、尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理（泰勒公式）定理1．（皮亚诺余项的阶泰勒公式）设在含的开区间内有阶导数，则有公式其中称为皮亚诺余项。对常用的初等函数如和（为实常数）的阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的阶泰勒公式）设在包含的区间内有阶导数，则有公式其中，（在与之间）称为拉格朗日余项。上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时，也称为阶麦克劳林公式。5卓越考研卓而优越则成如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨

4、论。B典型例题一、用罗尔定理的有关方法1、证明：或方法：对或使用罗尔定理2、证明：方法：构造辅助函数，且，再用罗尔定理。(1)积分法(原函数法)通过观察得。①将换成得②恒等变形，便于积分③积分，分离变量得(2)公式法：若欲证等式可变形为：，则应取辅助函数为(3)经验法：条件中有定积分，则辅助函数为被积函数例1、设，证明多项式在内至少有一个零点。例2、设在上连续，在内可导，且，，试证：必存在，使5卓越考研卓而优越则成例3、设在上连续，在内可导，且，证明：必存在使二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法1、用拉格朗日中值定理的有关方法例1．设，试证例2、设不恒为常数

5、的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得。2、用柯西中值定理的有关方法例、设在上连续，在内可导，证明：必存在使5