考研数学二阶微分方程讲义(卓越资料)

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1、卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编§4．2二阶微分方程A基本内容一、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程（1）二阶非齐次线性方程（2）1、若，为(1)的两个特解，则它们的线性组合(为任意常数)仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为2、若，为(2)的两个特解，则为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3、若为(2)一个特解，为(1)的任意特解，则为(2)的一个特解。4、若(2)的一个特解，而为(1)的通解（，为独立

2、的任意常数）则是(2)的通解。5、设与分别是与的特解，则是的特解。二、二阶常系数齐次线性方程1、方程形式其中，为常数，2、解法特征方程特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当，特征方程有两个不同的实根，则方程的通解为（2）当，特征方程有二重根则方程的通解为（3）当，特征方程有共轭复根，则方程的通解为三、二阶常系数非齐次线性方程1、方程形式：其中为常数通解：其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求。我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确

3、定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下：1、，其中为次多项式（1）若不是特征根，则令其中为待定系数。（2）若是特征方程的单根，则令（3）若是特征方程的重根，则令2、其中为次多项式，为实常数（1）若不是特征根，则令（2）若是特征方程单根，则令（3）若是特征方程的重根，则令3、或其中为次多项式，皆为实常数（1）若不是特征根，则令其中为待定系数为待定系数（2）若是特征根，则令四、差分方程考试要求一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为(1)其中为已知函数，为非零常数．当时，方程(1)变为，(2)我们称（1）为一阶常系数非

4、齐次线性差分方程，称(2)为其对应的一阶常系数齐次线性差分方程．1齐次差分方程的通解通过迭代，并由数学归纳法可得（2）的通解为这里为任意常数。2非齐次差分方程的解的性质(1)若是非齐次差分方程（1）的一个特解，是齐次差分方程（2）的通解，则非齐次差分方程（1）的通解为．(2)若与分别是差分方程和的解，则+是差分方程+的解．非齐次差分方程(1)的特解形式的设定如下表：B典型例题一、常系数齐次线性微分方程例1、求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）（4）解：（1）特征方程，即特征根，微分方程通解（2）特征方程，即特征根二重根微分方程通解（3）特征方

5、程特征根微分方程通解（4）特征方程即特征根二重根，微分方程通解例2、设方程，求满足，的特解。二、二阶常系数非齐次线性微分方程例1．求微分方程的一个特解。答案例2、求微分方程的通解。答案：例3、求的通解。答案：例4、求方程的通解。答案：例5、求的通解。答案：例6、求方程的通解。答案：例7、求微分方程的通解。答案：。三、差分方程例、差分方程的通解为________________．