考研数学极限讲义(卓越资料)

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1、卓越考研内部资料(绝密)卓而优越则成卓越考研教研组汇编§1.2极限A基本内容一、极限的概念与基本性质1、极限的定义(1)数列极限:,当时.任给,存在正整数,当时,就有。(2)函数极限:①任给,存在正数,当时,就有②(用表示在的右极限值)任给,存在正数,当时,就有③(用表示在的左极限值)任给,存在正数,当时,就有其中称为在处右极限值,称为在处左极限值。注:函数极限存在的充要条件:。④任给,存在正数,当时,就有⑤任给,存在正整,当时,就有⑥任给,存在正数,当时,就有注:2、极限的基本性质(1)(唯一性)设,,则(2)(不等式性质)设,若变化一定以后,总有,则反之,,

2、则变化一定以后,有(注:当,情形也称为极限的保号性)(3)(局部有界性)设则当变化一定以后,是有界的。二、极限的四则运算及幂指运算(1)四则运算设,则(1)(2)(3)(4)注:(1)存在,(2)(2)幂指函数的极限设,则三、极限存在准则1、夹逼准则若存在,当时,,且则1、单调有界准则单调有界数列必有极限。四、两个重要极限公式(1)(2)五、无穷小与无穷大1、无穷小、无穷大的定义若,则称为无穷小,则称为无穷大。注:(1)无穷小、无穷大与的变化过程有关,,当时,为无穷小,而或其它时,不是无穷小(2)无穷大与无界的关系:无穷大量无界变量,反之不成立。2、无穷小与无穷

3、大的关系在的同一个变化过程中若为无穷大,则为无穷小,若为无穷小,且,则为无穷大3、无穷小与极限的关系其中4、无穷小的比较设,,且(1),称是比高阶的无穷小,记以(2),称是比低阶的无穷小。(3),称与是同阶无穷小。(4),称与是等价无穷小,记以(5)无穷小的阶:若,称是的阶无穷小。5、常见的等价无穷小当时,,,,,,6.无穷小的重要性质(1)有限个无穷小的和仍是无穷小.(2)有限个无穷小的积仍是无穷小.(3)无穷小量与有界量的积仍是无穷小.B典型例题一、求极限:1通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1、求下列极限(1)(2)例2、设,求例3、求例4、设,,当解:

4、例5当时,函数的极限()(A)等于2.(B)等于0.(C)为(D)不存在但不为2、用两个重要公式例1、求例2、求解一:原式解二:原式例3、求例4、求下列极限(1)(2)(3)(4)例5、求下列极限(1)(2)(3)(4)3、用夹逼定理求极限例1、例2、4、利用单调有界原理例1、设求极限.例1、证明数列的极限存在。5、利用等价无穷小代换例1、例2、求.6、求分段函数的极限例(1)(2)二、无穷小量阶的比较例1、当的(A)低阶无穷小。(B)高阶无穷小。(C)等价无穷小。(D)同阶但非等价无穷小。例2、若是等价无穷小,则

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