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《考研数学辅导讲稿之导数应用例题资料版.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2012考研数学之导数应用函数的零点和符号的讨论方法1．利用闭区间上连续函数的性质主要利用两个定理：介值（零点）定理和最值定理。介值定理若函数f(x)在闭区间[,]ab上连续，且fa()≠fb()0<，那么，对于f()a与f()b之间的任意一个数C，在开区间(,)ab内至少有一点ξ，使得f()ξ=C．即：若f(x)∈C[a,b],f()aA=，f(b)=B,A≠B,则对于A与B之间的任意一个数C，至少有一点ξ∈(a,b),使得f()ξ=C．推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任
2、何值（尤其需要重视其应用）．零点定理若函数f(x)在闭区间[,]ab上连续，且f()a与f()b异号，那么在开区间(,)ab内至少有一点ξ，使得f()0ξ=．即：若f(x)∈C[a,b],且f(a)f(b)<0，则至少有一点ξ∈(a,b),使得f()0ξ=．【参考题】x11．证明方程4x=2至少有一个小于的正根．2x11【证】设fx()42=−x，显见fxC()∈[0,]，ff(0)()<0，由闭区间上的连续函数221x1的零点定理可知，f()x在(0,)至少有一个零点，即方程4x=2至少有一个小于
3、的正根．222．设函数f(x)在[0，1]上连续，0≤f(x)≤1，求证存在ξ∈[0，1]，使得f(ξ)=ξ。【证】此类问题需要叙述完备，条理清楚。本题即证F(x)=f(x)−x有一个零点ξ∈[0，1]．显然F(x)=f(x)−x在[0，1]上连续，则①当f(0)=0时，F(0)=0，此时取ξ=0；②当f(1)=1时，F(1)=0，此时取ξ=1；-1-2012考研数学之导数应用③排除以上两种情况，即当f(0)>0，f(1)<1时，有F(0)=f(0)>0，F(1)=f(1)−1<0，由闭区间上的连续
4、函数的零点定理可知，F(x)=f(x)−x在（0，1）存在零点ξ．综合以上三种情况，F(x)=f(x)−x在[0，1]存在零点ξ．3．已知f(x)在[0，1]上非负连续，f(0)=f(1)=0，则对于任意一个实数L（00），f(0)=0。（1）写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明在[−a,a]内至少存在一点η，使得a3af′′(η)=3∫−f(x)dx。
5、a比较：若二阶导数f′′(x)在[2，4]连续，且f(3)=0，求证在[2，4]必有一点ξ，使得4f′′(ξ)=3∫f(x)dx．2【真题】020308设f(x)，g(x)在[]a,b连续，且g(x)>0。利用闭区间上连续函数的性质，bb证明在[]a,b存在一点ξ，使得∫f(x)g(x)dx=f(ξ)∫g(x)dx。aa反证法的使用在此类问题的证明中是重要的叙述手段。所用结论是：★闭区间上的连续函数若没有零点，则它是恒正（负）的函数．【参考题】已知f(x)在[]a,b上连续，且对于∀x∈[a,b]，
6、存在相应的y∈[]a,b，使得1f(y)≤f(x)，试证∃x∈[]a,b，使得f(x)=0．002-2-2012考研数学之导数应用2．利用Rolle定理Rolle定理主要的作用：确定函数的导数的零点的存在性。在使用Rolle定理时要注意解决两个问题：①辅助函数的构造；②区间的选取。①辅助函数的构造111例2．如果a，a，…，a为满足a+a+?+a+a=0的实数，证明01n01n−1n2nn+1n−1n方程a+ax+?+ax+ax=0在（0，1）至少有一个实根。01n−1n熟记一些常见形式对使用Rol
7、le定理很有帮助。比如x若有f(ξ)+f′(ξ)=0的形式，可构造辅助函数F(x)=()fxe；−x若有f(ξ)−f′(ξ)=0的形式，可构造辅助函数F(x)=()fxe，等等。【参考题】若f(x)可导，求证在f(x)的两个零点之间一定有f′(x)+f(x)的零点。【真题】◇090118（090221，090318）例3．设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）可导，f(0)=0，求证：∃x∈（0，1），使0得xf′(x)+2f(x)=f′(x)．0000为了满足Rolle定理的条件之一：端点值相
8、等，常常需在一个较小的区间上使用Rolle定理，形式上表现为寻求一个点，使该点的函数值等于另一已知点的函数值。⎛1⎞例4．设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）可导，且f(0)=f(1)=0，f⎜⎟=1。求证存在⎝2⎠ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=1．-3-2012考研数学之导数应用【真题】⎛1⎞◇990308设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）可导，且f(0)=f(1)=0，f⎜⎟=1。⎝2⎠1（1）求证存在η∈(,1)，使得f(η)=η；2（2）对任意实数
