高考数学导数及其应用（选修1_1）第11节导数在研究函数中的应用（第4课时）导数与函数零点课件.pptx

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1、第四课时　导数与函数零点专题概述利用导数研究函数的零点,一般出现在解答题的一问,占6分左右,难度较大,一般是把两个函数图象的交点问题转化为一个新的函数的零点问题,或把一个函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,主要体现了转化与化归思想、数形结合思想.考点专项突破在讲练中理解知识考点一　讨论(判定)函数零点的个数【例1】(2018·安徽合肥期中)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x

2、-1≤x≤3,x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式;解:(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x

3、-1≤x≤3,x∈R},所以设f(x

4、)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0,所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.反思归纳(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.考点二　根据函数的零点求参数的取值(

5、范围)【例2】(2018·西安调研)函数f(x)=ax+xlnx在x=1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间;解:(1)f′(x)=a+lnx+1,x>0,由f′(1)=a+1=0,解得a=-1.则f(x)=-x+xlnx,所以f′(x)=lnx,令f′(x)>0,解得x>1;令f′(x)<0,解得0

6、)与y=m+1的图象有两个不同的交点.由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=-1,由题意得,m+1>-1,即m>-2,①当00且x→0时,f(x)→0;当x→+∞时,显然f(x)→+∞.如图,由图象可知,m+1<0,即m<-1,②由①②可得-2

7、化为两个函数图象的交点问题.【跟踪训练2】已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是()(A)(-∞,-2)(B)(-2,2)(C)(2,+∞)(D)(-2,0)∪(0,2)考点三　以零点为背景的函数综合问题【例3】设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;反思归纳(1)在(1)中,当a>0时,f′(x)在(0,+∞)上单调递增,从而f′(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,问题的关键是找到b,使f′(b)<0.【跟踪训练3】(2018·江苏卷)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有

8、一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.解析:f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(x>0).①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增,又f(0)=1,所以f(x)在(0,+∞)上无零点.答案:-3