不带利率erlang（2）风险模型的联合概率

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1、第41卷第5期江汉大学学报(自然科学版)V01．41NO．52013年10月J．JianghanUniv．(Nat．Sci．Ed．)0ct．20l3不带利率Erlang(2)模型的联合概率余国胜(江汉大学数学与计算机科学学院，湖北武汉430056)摘要：研究了不带利率E1ang(2)风险模型，得到了破产前瞬时盈余和破产时的赤字的联合概率关键词：Erlang(2)风险模型；瞬时盈余；赤字；联合概率中图分类号：O211．6文献标志码：A文章编号：1673—0143(2013)05—0040—040引言经典的风险理论

2、中索赔次数过程是泊松过程，并且经常不带利率。文献[1]讨论了常利率Erlang(2)风险模型的破产时刻罚金折现期望值，Diekson和Hipp考虑了不带利率Erlang(2)风险模型，得到其破产时刻折现期望值满足一个二阶微分方程，给出了关于不带利率Erlang(2)风险模型在破产发生情形卜破产时刻矩的表达式，程宗毛研究了破产时刻罚金折现期望值。文献[4]给出了不带利率Erlang(2)风险模型的破产时刻罚金折现期望值的拉氏变换。但是对不带利率Erlang(2)风险模型破产前瞬时盈余和破产时赤字的联合概率的讨论涉

3、及尚少，本文对这一问题予以讨论。1模型假定保险公司初始盈余为“，以每单位时间c元的速率收取保费。=∑W表示第”次索赔的_11f刻，x表示第次的索赔额。假定{；≥1}以及{；，2≥1}是独立同分布取止值的随机变t：1，{；n1}的共同分布为F(x)=P(x)，{；n≥l}的共同密度函数为K(t)=flte，时刻索峪次数过程为Ⅳ(f)=sup{：≤f}，时刻t总索赔()=∑。为了能让保险公司安全运作，不妨认为cE(W)>E()(Vi=1，2，⋯)，则盈余过程()满足dU(t)=cdf—dX(t)。靛义破产肘=v，>

4、0川>0，则盈余过程(f)的破产概率为(“)=P{U(f)<0)}。考虑在不带利率、破产发生的条件下，以破产前瞬时盈余和破产时的赤字为白变量的罚金折现划望值(“)=E(∞(U(T)，l(71)I)e))，其中J是集A的示性函数，∞是一个非负有界函数，o【是一个非负参数，e为折现因子为了h便起见，引入下面的记号：l厂()=dF(x)，()为破产的概率，U(T)为破产前瞬时盈余，IU(T)I为破广时的赤字，(“Y，z)=P(U(T一)1，，l()1z，T<∞)。收稿日期：2013—05—14作者简介：余国胜(198

5、O一)，男，讲师，博士，研究方向：随机动力系统、金融数学。2013年第5期余国胜：不带利率Erlang(2)风险模型的联合概率412破产前瞬时盈余和破产时赤字的联合概率引理1当6c>0时，定义／(s)=c2s一2(fl+a)cs+(+)。那么Lundberg基本方程)=c2s一2(fi+a)cs+(+。【)=f()有两个正根，r，，满足鱼<，．，<，其中厂()=e一“l厂)dx，_厂()是密度函数。注由文献[2]可知，当0时，r0，将趋于Dickson和Hipp参数，记之为；在特定的情况下，若Lundberg基

6、本方程除此之外还有实根，则实根取负值。定理1若>0时，F㈨：l—exp(-2x)，>0，l0，X0，则H(u，Y，z)=H(0，Y，z)e“，其中一是Lundberg基本方程的一个负根。证明由文献[1]中推论2，有d2(uy,z)一2cdH(uc,,y,z)+H(u,y,z)一r-x~y,z)e-~dx一l¨(e一P)=0。(1)当U>J，时，82日(z)一2pcdH(c(2)，，，，z)+H(u,y,z)一i：H(u-x,y,z)c-2X=。。将(2)式两边微分，适当整理得到d3H(uc,y,z)+(c22-

7、2flc)妄(+(f12_2c)(，Z)=0。(3)相应的Lundberg本方程为c2s+(c2一2c)s+(一22cf1)s=0。(4)由引理1，方程(4)有二个非负实根：r。=0，r=S。。又由cE(W)>()，有22c>，则方程(4)必有一个负根，不妨记为一R。事实上，它们也是(3)式的特征方程的根，故有H(u，Y，z)=1+2P十3P。(5)由于当“+。0时，H(u，Y，z)0，故有H(u，Y，z)=(0，Y，z)e“。当时，d2(z)一2dH(“c，，，Y，z)+H(u,y,z)一。rH一，，z)e-

8、2X一p2(e一P一‘⋯1=0。(6)将(6)式两边微分，适当整理也可以得到83Hz)+(c一2cd2H@cz)+(一2c)，，z)=。。(7)，，，，同理可以得到H(u，Y，z)=(0，Y，z)e“。定理1得证。定理2若>0，且>0(i=1，2)，l≠仅2，F={一exp‘一oc1(1一。xp‘一2：42江汉大学学报(自然科学版)总第41卷lJ{当≤Y日寸，H(u，Y，z)=K3e1