2019_20学年高中数学第2章函数2.4.2二次函数的性质课件北师大版必修.pptx

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1、4.2二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像及性质注:ymax,ymin分别表示函数y=f(x)的最大值、最小值.【做一做】已知函数f(x)=x2-2x-3,则(1)函数f(x)的顶点是;它的图像的对称轴是.(2)函数的递增区间是;递减区间是.(3)当自变量x为时,函数的图像达到最低点,它的最小值是.(4)该函数在[0,2]上的最小值和最大值分别为.解析:把已知函数配方得f(x)=(x-1)2-4.(1)f(x)图像的顶点是(1,-4);对称轴x=1.(2)因为a=1>0,所以函数图像开口向上,递增区间为[1,+∞),递减区间为(-∞,1].(3)在x=1时达到最低

2、点,最小值为-4.(4)结合图像可知函数在[0,2]上的最小值为-4,最大值为-3.答案:(1)(1,-4)x=1(2)[1,+∞)(-∞,1](3)1-4(4)-4,-3思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)所有的二次函数在定义域R上一定有最大值和最小值.()(2)若二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)一定满足关系式f(a+x)=f(a-x).()(3)若二次函数f(x)满足关系式f(x)=f(2a-x),则说明该二次函数f(x)图像的对称轴为x=2a.()答案:(1)×(2)√(3)×探究一探究二探究三探究四易错辨析二次函

3、数图像的对称性探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析(3)若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x),则其图像的对称轴为x=a(a为常数).2.利用对称性,结合开口方向,可以比较二次函数函数值的大小.(1)若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小;(2)若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大.探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练1如果函数f(x)=x2+bx+1对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),求f(1),f(2)的值.解:由题意知,函数图像关于x=2对称,故-=2,得b=-4,所以f(x)=x2-4x+1,f

4、(1)=1-4+1=-2,f(2)=4-8+1=-3.探究一探究二探究三探究四易错辨析二次函数的单调性【例2】若函数f(x)=-2x2+mx+1在区间[1,4]上是单调函数,则实数m的取值范围是.答案:(-∞,4]∪[16,+∞)探究一探究二探究三探究四易错辨析1.利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围,这是函数单调性的逆向性问题.解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴,通过对称轴的位置建立变量之间的关系,进而求解参数的取值范围.2.函数在区间(a,b)上单调与函数的单调区间是(a,b)的含义不同,注意区分.前者只能说明(a,b)是相应单调区间的一个子集;而后者说明a,

5、b就是增减区间的分界点,即函数在a,b两侧具有相反的单调性.探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练2已知函数f(x)=-x2+mx+1在区间[1,+∞)上是减少的,求m的取值范围.探究一探究二探究三探究四易错辨析二次函数的最值(值域)【例3】已知函数f(x)=x2+2ax+2.(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值和最小值;(2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值.分析:将原函数先配方,对于第(2)问还要结合图像进行分类讨论.探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,因为1∈[-5,5],

6、故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1;当x=-5时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.(2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a.当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上是增加的,所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a;当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图像如图①所示,由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a;当0<-a<5,即-5

7、像可得f(x)max=f(-5)=27-10a,f(x)min=f(-a)=2-a2;探究一探究二探究三探究四易错辨析当-a≥5,即a≤-5时,函数在区间[-5,5]上是减少的,所以f(x)min=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a.综上可得,当a≥5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最小值为27-10a;当0≤a<5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最小值为2-a2;当