算术平均数与几何平均数教学设计.doc

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1、算术平均数与几何平均数教案设计衡东县第一中学数学课题组刘玉华执笔教材分析与设计理念:教材中算术平均数与几何平均数一节既是不等式性质:的延续,又是不等式证明方法———综合法的重要理论依据之一.更是处理有关函数最值问题这一高考热点的一种常用方法.学好这部分内容,对整个高中数学的学习都有重要意义.在以往的教案实践中发现:一方面学生容易忽视均值不等式成立的条件,导致解题过程不严谨,甚至得出错误的结论。另一方面均值不等式在处理不等关系时,方法灵活,技巧性强,是高考考查学生分析问题﹑解决问题能力的重要内容之一.教参中只安排两课时,时间紧,也是教

2、师教不透,学生学不好的主要原因.因此我认为这节内容有必要安排三课时:第一课时,让学生了解均值不等式及其成立的条件,学会初步应用.第二课时,在灵活应用上下功夫,在学生常出错处动脑筋,让学生切实掌握好均值不等式的应用.第三课时,解决日常生活实际应用题中均值不等式的建模问题.下面是我对前两课时的教案设计.第一课时教案目的与要求:理解,掌握两个重要不等式及各自成立的条件,能正确,熟练地运用两个重要不等式解题.教案重点:理解﹑掌握两个重要不等式及各自成立的条件.教案难点:运用两个重要不等式解题及对解题过程的反思﹑确认.教案方法:自学﹑启发﹑引

3、导﹑精讲﹑练习.教案多媒体选择:投影仪.59/8教案过程:一.让学生阅读教材例2.(培养学生阅读教材的能力)二.让学生口叙两个重要不等式.(教师板书,培养学生看书﹑总结反思的好习惯)①如果,那么.(当且仅当时取“=”号)②定理:如果a,b是正数,那么(当且仅当时取“=”号)三.提问:①两个不等式对的要求是否相同?为什么?生:不同,前者只要求,后者要求.若a=-3,b=-2,前一个不等式成立,而后一个不等式就不成立了.②括号中“当且仅当a=b时取“=”号”这句话怎样理解?生:当时,两个不等式中的“=”号成立。反之“=”号成立时,则.即

4、是两个不等式中“=”号成立的充要条件.四.针对练习:(投影仪显示)1.①求证:（）.②求证:（）.③已知为三角形的三边,求证:.④已知,求函数的最小值.并求此时的值.若,该函数有最小值吗?有最大值吗?并求出相应的值.导析:①由第一个重要不等式易证得此不等式成立.这个不等式也可作为证明其他不等式的根据.它还可变形为.59/8②由上一题的结果不难证得此不等式成立,通过此题的练习可培养学生的观察能力,分析能力.③∴∵为三角形的三边.∴∴∴题中不等式获证.④∵∴=5.当且仅当即时,等号成立.若,,59/8当且仅当即x=1时等号成立.2.下列

5、说法是否正确?为什么?(投影仪显示)①的最小值是2.②的最小值是4.③的最小值是.导析:①不正确.因为不一定为正数.当时,当时,.①不正确.当且仅当即时上式中等号成立.但,不可能取2,所以上式等号不能成立.的最小值不是4.令易证在上单调递减.∴.②不正确.因为(三个正数的均值不等式还没讲,布置学生课后看阅读教材.)当且仅当即x=1时等号成立.显然因为错误思路:59/8当且仅当即时等号成立.错因:不等式成立,但不能根据来求的最小值,因为不是一个常数.通过此题的练习﹑讨论﹑讲评,让学生明白运用均值不等式求函数最值是要满足三个条件:一要正

6、。二可定(即求和的最小值时,积凑常数。求积的最大值时,和凑常数)。三能等(即均值不等式中的等号能成立,特别是几次运用均值不等式时,等号能成立的条件应不相矛盾.).五.作业:1.习题6.2第3,4,5题.2.阅读教材第24-25页,了解个正数的算术平均数与几何平均数的关系.第二课时教案目的与要求:能灵活运用均值不等式解题.教案重点:已知条件的运用,对题意的理解.教案难点:已知条件的运用,发散思维能力的培养.教案方法:练习,点拨.教案多媒体选择:投影仪.教案过程:一.复习提问:运用均值不等式求函数的最值时,应注意哪几点?二.例题:例1.

7、已知且,求的最小值.59/8引导学生观察已知条件,注意”1”的妙用,得出.解法一:当且仅当时取”=”号.又∵∴当且仅当时,上式等号成立.∴解法二:要求的最小值,由已知可用表示.可转化为只含的式子.由已知得当且仅当即时等号成立.∴.基于求和的最小值,积凑常数的思路.又有下面的解法三:由已知条件变形得,又由已知得,所以当且仅当.即时等号成立,所以.通过上面的三种解法(此题还有其他解法)让学生领会对题目已知条件进行观察思考的重要性,从而有意识地识地培养学生的观察思考能力和发散思维能力.再让学生分析下面的解法错在何处:(投影仪显示)59/8

8、∵且.∴.∴.点评:当且仅当时等号成立.当且仅当时等号成立.它们不能同时取等号,所以不能取到12这个值.再看下面一题的解法错在何处,应怎样改正?(投影仪显示)设实数满足,求的最大值.解:∴的最大值是2.受到上面一题的启发,学生不难发现