算术平均数与几何平均数

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1、算术平均数与几何平均数教学目标：掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．教学重点：均值不等式的灵活应用。（一）主要知识：两个数的均值不等式：若，则≥（等号仅当时成立）三个数的均值不等式：若，则≥（等号仅当时成立）几个重要的不等式：①≤≤②≤；③如果，则≥≥≥最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。（二）主要方法：常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导

2、数法）.（三）典例分析：问题1．求下列函数的最值：；；；；；已知（为常数），，求的最小值问题2．已知，，且，求的最大值.问题3．求最小值；问题4．设，，且，则已知≥，≥，且，求证：≤若,求的最小值（四）课后作业：已知那么的最小值是已知：，求证：若，则的最大值是此时，已知，则的最小值为已知实数满足则的最小值和最大值分别为，，，，无最大值求的最小值当时，求证：．已知正数、满足,则的最大值是下列函数中，的最小值为的是若，且，则的最大值是（内江二中）已知，则的最小值是若是正实数，，则的最大值是要使不等式对所有正数都成立，试问的最小值是（届高三西安市第一次质检），由不等式≥，≥，≥，…，启

3、发我们得到推广结论：≥，则已知：、，，求的最小值（五）走向高考：(湖南)设则以下不等式中不恒成立的是（重庆）若是正数，则的最小值是(福建文)下列结论正确的是当且时，则当时，当≥时，的最小值为当时，无最大值（陕西）已知不等式≥对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为（重庆文）若且，则的最小值是（重庆）若且,则的最小值为（重庆文）函数f(x)=的最大值为1（山东）函数（，）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（山东文）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（上海）若，且，则的最大值是（上海）若关于的不等式≤的解集是，则对任意实常数，总有，，，，（浙江文）已知（上海）已知函数＝有

4、如下性质：如果常数＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．如果函数＝（）的值域为，求的值；研究函数＝（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；对函数＝和＝（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．